2024届辽宁省五校联考（省实验育才中学高三数学试题教学情况调查（一）数学试题.doc

2024届辽宁省五校联考（省实验，育才中学高三数学试题教学情况调查（一）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合，则的值域为（　　）A． B． C． D．2．已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的右焦点为F，过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C．2 D．+13．函数的定义域为（ ）A． B． C． D．4．一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）A．6 海里 B．6海里 C．8海里 D．8海里5．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，若球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（ ）A． B． C． D．6．已知函数，若恒成立，则满足条件的的个数为（ ）A．0 B．1 C．2 D．37．已知，，，则的最小值为（ ）A． B． C． D．8．已知中，角、所对的边分别是，，则“”是“”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件9．若复数满足，则（其中为虚数单位）的最大值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．410．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ）A． B． C． D．11．下列函数中，值域为的偶函数是（ ）A． B． C． D．12．数列满足：，，，为其前n项和，则（ ）A．0 B．1 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若变量，满足约束条件则的最大值为________.14．的展开式中，的系数是______.15．已知，则__________.16．复数（其中i为虚数单位）的共轭复数为________.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知中，内角所对边分别是其中.（1）若角为锐角，且，求的值；（2）设，求的取值范围.18．（12分）在四棱柱中，底面为正方形，，平面．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．19．（12分）已知奇函数的定义域为，且当时，.（1）求函数的解析式；（2）记函数，若函数有3个零点，求实数的取值范围.20．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点． （1）证明：AP∥平面EBD；（2）证明：BE⊥PC．21．（12分）已知函数，函数在点处的切线斜率为0.（1）试用含有的式子表示，并讨论的单调性；（2）对于函数图象上的不同两点，，如果在函数图象上存在点，使得在点处的切线，则称存在“跟随切线”.特别地，当时，又称存在“中值跟随切线”.试问：函数上是否存在两点使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线、交于、两点，是曲线上的动点，求面积的最大值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．A【解题分析】先求出集合，化简=，令，得由二次函数的性质即可得值域.【题目详解】由，得 ，，令， ，，所以得 ， 在 上递增，在上递减， ，所以，即 的值域为故选A【题目点拨】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题2．B【解题分析】以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，可求出点，则，整理计算可得离心率.【题目详解】解：以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，取第一象限的解得，即，则，整理得，则（舍去），，.故选：B.【题目点拨】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.3．C【解题分析】函数的定义域应满足 故选C.4．A【解题分析】先根据给的条件求出三角形ABC的三个内角，再结合AB可求，应用正弦定理即可求解.【题目详解】由题意可知：∠BAC＝70°﹣40°＝30°.∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°﹣65°＝45°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12.在△ABC中，由正弦定理得，即，∴.故选：A.【题目点拨】本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中档题.5．B【解题分析】由题意画出图形，设球0得半径为R，AB=x, AC=y,由球0的表面积为20π，可得R2=5，再求出三角形A BC外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值，代入棱锥体积公式得答案.【题目详解】设球的半径为，，，由，得．如图：设三角形的外心为，连接，，，可得，则．在中，由正弦定理可得：，即，由余弦定理可得，，．则三棱锥的体积的最大值为．故选：．【题目点拨】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．6．C【解题分析】由不等式恒成立问题分类讨论：①当，②当，③当，考查方程的解的个数，综合①②③得解．【题目详解】①当时，，满足题意，②当时，，，，，故不恒成立，③当时，设，，令，得，，得，下面考查方程的解的个数，设（a），则（a）由导数的应用可得：（a）在为减函数，在，为增函数，则（a），即有一解，又，均为增函数，所以存在1个使得成立，综合①②③得：满足条件的的个数是2个，故选：．【题目点拨】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型.7．B【解题分析】 ,选B8．D【解题分析】由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【题目详解】中，角、所对的边分别是、，由大边对大角定理知“”“”，“”“”.因此，“” 是“”的充分必要条件.故选：D.【题目点拨】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题．9．B【解题分析】根据复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定，即可得的最大值.【题目详解】由知，复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，表示复数对应的点与点间的距离，又复数对应的点所在圆的圆心到的距离为1，所以.故选：B【题目点拨】本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.10．C【解题分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【题目详解】解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，P−ABC，正方体的棱长为2，该几何体的表面积：．故选C．【题目点拨】本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．11．C【解题分析】试题分析：A中，函数为偶函数，但，不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且，满足条件；D中，函数为偶函数，但，不满足条件，故选C．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域．12．D【解题分析】用去换中的n，得，相加即可找到数列的周期，再利用计算.【题目详解】由已知，①，所以②，①+②，得，从而，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1，2，1，-1，-2，-1，所以，.故选：D.【题目点拨】本题考查周期数列的应用，在求时，先算出一个周期的和即，再将表示成即可，本题是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．7【解题分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可容易求得目标函数的最大值.【题目详解】作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示.观察可知，当直线过点时，有最大值，.故答案为：.【题目点拨】本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划，主要考查推理论证能力以及数形结合思想，属基础题.14．【解题分析】先将原式展开成，发现中不含，故只研究后面一项即可得解.【题目详解】，依题意，只需求中的系数，是.故答案为：-40【题目点拨】本题考查二项式定理性质，关键是先展开再利用排列组合思想解决，属于基础题.15．【解题分析】首先利用，将其两边同时平方，利用同角三角函数关系式以及倍角公式得到，从而求得，利用诱导公式求得，得到结果.【题目详解】因为，所以，即，所以，故答案是.【题目点拨】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，倍角公式，诱导公式，属于简单题目.16．【解题分析】利用复数的乘法运算求出，再利用共轭复数的概念即可求解.【题目详解】由，则.故答案为：【题目点拨】本题考查了复数的四则运算以及共轭复数的概念，属于基础题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）；（2）.【解题分析】（1）由正弦定理直接可求，然后运用两角和的正弦公式算出；（2）化简，由余弦定理得，利用基本不等式求出，确定角范围，进而求出的取值范围.【题目详解】（1）由正弦定理，得： ，且为锐角 （2） 【题目点拨】本题主要考查了正余弦定理的应用，基本不等式的应用，三角函数的值域等，考查了学生运算求解能力.18．（1）详见解析；（2）.【解题分析】（1）连接，设，可证得四边形为平行四边形，由此得到，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果.【题目详解】（1）连接，设，连接，在四棱柱中，分别为的中点，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面．（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．设，四边形为正方形，，，则，，，，，，，设为平面的法向量，为平面的法向量，由得：，令，则，，由得：，令，则，，，，，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握二面角的向量求法，易错点是求得法向量夹角余弦值后，未根据图形判断二面。