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第七章 向量代数与空间解析几何,第一节 向量及其线性运算,第二节 向量的数量级与向量积,第三节 平面、空间直线方程,第四节 曲面、空间曲线方程,第三节 平面、空间直线方程,一.空间平面方程,二.空间直线方程,本节主要内容:,3,法向量：如果一个非零向量垂直于一平面，这向量称为该平面的法向量1.平面的点法式方程,★基本结论：一个平面有无数多个法向量；,平面上任意向量都与该平面的法向量垂直一.空间平面方程,4,问题：唯一确定平面的条件？,过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的 平面有无穷个．,,,,,,在空间解析几何中，确定平面的基本条件是：平面过一定点且与定向量垂直5,平面方程的建立：,设平面上的任一点为,,必有,,,平面的点法式方程,,,平面上的点都满足上述方程，不在平面上的点都不满足上述方程，故上述方程称为平面的方程．,6,过点M0(x0, y0, z0)且法线向量为n={A, B, C}的平面的方程为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.,平面的点法式方程,,,例1 求过点M0(1, -2, 0) ，且以 为法向量的平面的方程.,2(x-1)-(y+2)+5z=0, 即 2x-y+5z-4=0.,根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为,解,7,取该平面 的法向量为,,利用点法式得平面  的方程,即,例2 求过三点M1(1,1,1), M2(-3,2,1)和M3(4,3,2) 的平面的 方程.,解,8,此平面的三点式方程也可写成,一般情况 :,过三点,的平面方程为,说明:,9,例3 一平面通过两点M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, -1)且垂直于 平面 x+y+z=0, 求它的方程.,解,10,所以所求平面方程为 2(x-1)-(y-1)-(z-1)=0, 即 2x-y-z=0.,11,2.平面的一般式方程,,由平面的点法式方程,：平面的一般式方程,法向量,反过来, 任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图形总是一个平面.,12,例如, 方程3x-4y+z-9=0,★特殊位置平面的方程：,平面一般式方程Ax+By+Cz+D=0,其法向量为n={A, B, C}.,,,(1) 过原点的平面方程,由于O(0, 0, 0)满足方程, 所以D = 0. 于是, 过原点的平面方程为:,Ax + By + Cz = 0,13,(2) 平行于坐标轴的平面方程,平面方程 By+Cz+D=0 Ax+Cz+D=0 Ax+By+D=0,法线向量,法线向量垂直于,平面平行于,,,,,,,,,,,x轴 y轴 z轴,x轴 y轴 z轴,于是:,平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0;,平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0;,平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0.,特别: D = 0时, 平面过坐标轴.,14,(3)平行于坐标面的平面方程,平面方程 Cz+D=0 Ax+D=0 By+D=0,法线向量,法线向量垂直于,平面平行于,,,,,,,,,,,xOy平面 yOz平面 zOx平面,xOy平面 yOz平面 zOx平面,于是:,平行于xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0;,平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0;,平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0.,15,例4 求一个通过x轴和点(3,1,-1)的平面方程.,因平面通过 x 轴 ,,设所求平面方程为,代入已知点,化简,得所求平面方程,得,解,16,例5 求过三点P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c), 的平面方程（其中a,b,c 为不等于零的常数）.,设所求平面的方程为,Ax + By + Cz + D = 0,因P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c) 三点都在这平面上, 于是,,aA + D = 0 bB + D = 0 cC + D = 0,解得:,解,17,所求平面的方程为:,即:,平面的截距式方程,,,,18,3*.两平面的夹角,,,,,,,,,,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,若已知两平面方程是:,1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0,2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0,19,所以,20,,,特别有下列结论：,,,,,,,,,,,,,,,,规定: 若比例式中某个分母为0, 则相应的分子也为0.,21,例6 求两平面 x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角.,解,22,4.点到平面的距离,例7 设P0(x0, y0, z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点, 求P0到这平面的距离.,设平面法向量为,在平面上取一点,,,则P0 到平面的距离为,,,,,,,,,,,(点到平面的距离公式),,解,23,例: 求点(2, 1, 1)到平面 x+y-z+1=0的距离.,点P0(x0, y0, z0)到平面Ax+By+Cz+D=0距离:,,解,24,1.空间直线的一般式方程,空间直线可以看作是两个平面的交线.,设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为 1 ：A1x+B1y+C1z+D1=0 2 ： A2x+B2y+C2z+D2=0,,那么直线L可表示为方程组,,空间直线的一般式方程,二.空间直线方程,25,说明：直线的一般式方程不唯一,,L,例如：,表示y轴,也表示y轴,26,2.空间直线的点向式（对称式）方程和参数方程,与直线平行的非零向量，称为直线的方向 向量.,直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.,,,,方向向量,确定直线的条件,27,直线的点向式(对称式)方程,设M(x, y, z)为直线上的任一点,则,,,故有,此式称为直线的点向式方程(也称为对称式方程),说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.,直线方程为,例如, 当,28,直线的参数式方程,由直线的对称式方程可以导出直线的参数方程。

只须设,则有,这就是直线L的 参数方程. 这里t为参数.,29,例8 求通过空间两点M1(x1, y1, x1)与M2(x2, y2, x2) 的直线L的方程.,过两点的直线方程,因为直线经过点M1与M2，所以我们可以取向量,作为直线L的方向向量，所以直线方程为：,解,30,故可取,又因为所求直线过点(0,2,4)，故所求直线的方程为,例9 求过点(0,2,4)且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行的直线方程.,解,31,例10 用对称式方程及参数方程表示直线,先在直线上找一点(x0,y0,z0).,令 z0 = 0, 解方程组,,得x0=-1,y0=1,故(-1,1,0)是直线上一点 .,点的确定方法 不唯一. 也可以令x=1等等,解,32,,故可取,因此，所给直线的对称式方程为,参数方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,33,3*．两直线的夹角,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),则两直线夹角  满足,34,特别有:,,,,,35,例11 求以下两直线的夹角,直线L1的方向向量为,直线L2的方向向量为,二直线夹角 的余弦为,从而,解,36,4*．直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直线所夹锐角称为直线与平面的夹角, 当直线与平面垂直时, 规定直线与平面的夹角为90.,,,,,,,设直线 L 的方向向量为,平面  的法向量为,则直线与平面夹角  满足,︿,37,特别有:,,,,,例12,为所求夹角．,解,38,例13 求过点M0(0,-1,2)和直线 的平面方程.,直线的方向向量为,M1(1,-3,1)在已知直线上,设平面的法向量为,所求平面的方程为：-4(x-0)+2(y+1)-8(z-2)=0， 即 2x-y+4z-9=0．,则,于是，可取,解,39,例14 求与两平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交线平行且过点（-3，2，5）的直线的方程.,设所求直线的方向向量为,已知平面的法向量分别为,则,于是，可取,解,40,所求直线方程为：,41,所给直线的参数方程为,因为点在直线上,所以可设交点坐标为 (2+t, 3+t, 4+2t),,代入平面方程中，得,解上述方程，得t =-1.,例15 求直线 与平面2x+y+z-6=0 的交点.,2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0.,所以,交点的坐标为(1,2,2).,解,42,所给直线的参数方程为,从而可设两直线的交点为：B (1+t, 1+2t, -t),则,已知直线的方向向量,显然,例16 求过点A(2，1，-5)且与直线 垂直相交的直线的方程.,即：,解,43,解得：t=1,故所求直线的方程为：,即：,44,例17 求通过直线 且平行于直线 的平面方程.,设所求平面的法向量为,已知直线的方向向量分别为,则,于是，可取,所求平面的方程为：2x-z-5=0．,解,45,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,内容小结,46,2.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,,,,,47,3. 空间直线方程,一般式,对称式,参数式,48,直线,4. 线与线的关系,直线,夹角公式:,,,,,49,平面  :,L⊥,L // ,夹角公式：,5. 面与线间的关系,直线 L :,,,,,。