（人教B版必修5）3.4　不等式的实际应用学案（含答案）.doc

3.4　不等式的实际应用1．解有关不等式的应用题，首先要选用适宜的字母表示题中的未知数，再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)，然后解列出的不等式(组)，最后结合问题的实际意义写出答案．2．在实际应用问题中，假设应用均值不等式求最值同样必须确保“一正、二定、三相等〞的原那么．“一正〞即必须满足“各项为正数〞；“二定〞即求和的最小值必须拼凑成其积为“定值〞，求积的最大值必须使其和为“定值〞；“三相等 〞就是必须验证等号是否成立．3．对于形如y＝x＋ (k>0)的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，那么这时就可以考虑利用函数的单调性进行求解．(1)当x>0时，f(x)＝x＋≥2(k>0)，当x＝时取“＝〞．另外，我们还可以证明f(x)在区间(0，]上为减函数，在区间[，＋∞)上为增函数，据此单调性来求函数的值域．(2)当x<0时，∵f(x)＝x＋ (k>0)(x≠0)为奇函数．∴f(x)在(－∞，－]上为增函数，在[－，0)上为减函数．一、构建一元二次不等式模型解决 实际问题方法链接：二次函数、一元二次不等式在实际生活中有着广泛的应用，构建一元二次不等式模型时应注意自变量的实际含义．例1　一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系：y＝－2x2＋220x.假设这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解　设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，得－2x2＋220x>6 000.移项整理，得x2－110x＋3 000<0，解得500，且AB＝3x＋8，AD＝＋6，总面积y＝AB·AD＝(3x＋8)＝30 048＋＋18x≥30 048＋2＝32 448，当且仅当18x＝，即x＝时，等号成立，此时＝150.答　鱼塘的长为150 m，宽为 m时，占地面积最少．三、利用函数单调性求最值问题方法链接：对于形如y＝x＋的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，那么这时就可以考虑用函数的单调性进行求解．例3　某工厂有旧墙一面，长14米，现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为126平方米的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a元；②修1米旧墙的费用为元；③拆去1米旧墙，用所得材料建1米新墙的费用为元．经讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14；问如何利用旧墙，即x为多少米时，建造费用最省？(1)、(2)两种方案哪个更好？分析　以建造总费用为目标函数，通过函数求最小值来解此题．解　设利用旧墙的一面矩形边长为x米，那么矩形的另一面边长为米．(1)利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形一面边长，那么修旧墙费用为x·元．将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x)·元，其余建新墙的费用为a元．故总费用为y＝x·＋·a＋a＝a＝7a (0196.从而1－>0，所以函数y在[14，＋∞)上为增函数．故当x＝14时，ymin＝a＋2a＝35.5a>35a.综上所述，采用第(1)种方案，利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a元．四、函数、数列、不等式在实际问题中的综合应用方法链接：不等式的知识，尤其是解不等式、均值不等式求最值常常融于函数、数列应用题中加以考查．一般是先建立函数模型或数列模型，再利用不等式的知识求某些量的范围或最值．例4　2021年推出一种新型家用轿车，购置时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.7万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元．(1)设该辆轿车使用n年的总费用(包括购置费用、保险费、养路费、汽油费及维修费)为f(n)，求f(n)的表达式；(2)这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年，年平均费用最少)?解　(1)由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n年的维修总费用为＝0.1n2－0.1n(万元)所以f(n)＝14.4＋0.7n＋(0.1n2－0.1n)＝0.1n2＋0.6n＋14.4(万元)(2)该辆轿车使用n年的年平均费用为＝＝0.1n＋0.6＋≥2＋0.6＝3(万元)．当且仅当0.1n＝时取等号，此时n＝12.答　这种汽车使用12年报废最合算．五、均值不等式在物理学科中的应用方法链接：均值不等式在物理学科中的电学、力学局部中经常用到，应用时也要注意验证等号是否取到．例5　如下图，电路中电源的电动势为ε，内阻为r，R1为固定电阻，求可变电阻R2调至何值时，它所消耗的电功率最大，其最大电功率是多少？分析　依据物理知识，建立数量关系，借助二元均值不等式求出最大值．解　由电学公式，电功率P＝UI，有P2＝U2I2＝.∵U2(ε－U2)≤2＝(定值)，∴仅当U2＝ε－U2，即2U2＝ε时，P2到达最大值，最大值为.在ε＝2U2的两端除以I(＝I1＝I2)，得2R2＝r＋R2＋R1.∴R2＝r＋R1.∴可变电阻R2调至r＋R1时，所消耗的电功率最大，最大电功率是.利用均值不等式时忽略等号成立条件而致错例　甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过每小时c km，汽车每小时的运输本钱(以元为单位)由可变局部和固定局部组成：可变局部与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b，固定局部为a元．(1)将全程运输本钱y(元)表示为速度v的函数，并指出该函数的定义域；(2)为使全程运输本钱最少，汽车应以多大的速度行驶？[错解]　(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，因此全程运输本钱为y＝(a＋bv2)·＝s，∵a>0，b>0，s>0，v>0，∴定义域为(0，c]．(2)由(1)知：y＝s≥2·s＝2s.当＝bv，即v2＝，v＝时，取“＝〞．所以，汽车以 km/h的速度行驶时，全程运输本钱最少．[点拨]　此题中的a，b，c均为字母常量，且为正实数，v是全程运输本钱函数中的自变量，v∈(0，c]，但是 与c的大小不确定，上述解答中的最小值2s 不一定能取到，应当按 与c的大小分类讨论．[正解]　(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输本钱为y＝a·＋bv2·＝s，故所求函数及其定义域为y＝s，v∈(0，c]．(2)∵s，a，b，v都是正数，∴s≥2s(当且仅当＝bv，即v＝时取“＝〞)∴①假设 ≤c，那么v＝时全程运输本钱最少．②假设 >c，函数y＝＋bv在上是减函数，证明如下：设00，即y1>y2，∴函数y＝＋bv在上是减函数．又∵c< ，∴函数在(0，c]上也是减函数．∴v＝c时，全程运输本钱最小．综上可知：当 ≤c时，v＝时全程运输本钱最少；当>c时，v＝c时全程运输本钱最少．例　如下图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米．流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)?解　方法一　设y为流出的水中杂质的质量分数，那么y＝，其中k>0为比例系数，依题意，即所求的a、b值使y值最小．根据题设，有4b＋2ab＋2a＝60 (a>0，b>0)，得b＝ (00，b>0)，即a＋2b＋ab＝30 (a>0，b>0)．∵a＋2b≥2，∴2·＋ab≤30.当且仅当a＝2b时，上式取等号．由a>0，b>0，解得02)．(2)∵x>0，∴225x＋≥2＝10 800.∴y＝225x＋－360≥10 440.当且仅当225x＝时，等号成立．即当x＝24 m，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．赏析　本小题主要考查函数和不等式等根底知识，考查用均值不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力．。