《数学分析》考试大纲 - 河北教师教育网.doc

《《数学分析数学分析》》考试大纲考试大纲 - - 河北教师教育网河北教师教育网《数学综合》考试大纲一、 《数学分析》考试大纲教材：《数学分析》 （华东师范大学数学系编） （第三版）一、 课程的性质、目的与要求：《《数学分析》是数学专业最重要的基础课之一，是数学专业的学生继续学习后继课程的基础，它的理论方法和内容既涉及到几百年来分析数学的严谨性和逻辑性，又与现代数学的各个领域有着密切的联系 是从事数学理论及其应用工作的必备知识要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念基本理论，掌握研究分析领域的基本方法，基本上掌握数学分析的论证方法，具备较熟练的演算技能和初步的应用能力及逻辑推理能力二、课程内容与考核要求：第 1 章 实数集与函数（1）了解实数域及性质（2）掌握几种主要不等式及应用3）熟练掌握上确界，下确界定义和确界原理4）牢固掌握函数复合、基本初等涵数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等） 例题：P6:例 2；P7：例 3；P17: 例 2；习题：P9：6，7; P20: 7; P22: 12,13.第 2 章 数列极限（1）熟练掌握数列极限的定义2）掌握收敛数列的若干性质（有界性、保号性、保不等式性质等）。

3）掌握数列收敛的条件（单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等）例题：P32: 例 5；P36: 例 2.习题：P34：4(3) (4)（5） ，9；P39：3(1)(2), 11; P40 总练习题：1，3，7，8.第 3 章 函数极限（1）熟练掌握使用“ε-δ“语言，叙述各类型函数极限2）掌握函数极限的性质3）掌握函数极限存在的条件（归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界） 4）熟练应用两个重要极限求函数的极限5）牢固掌握无穷小（大）的定义、性质、阶的比较例题：P62: 例 1，2.习题：P55：1, 5; P59: 2; P67 总练习题: 2.第 4 章 函数连续性（1）熟练掌握在一点连续的定义及其等价定义2）掌握间断点定以及分类3）了解在区间上连续的定义，能使用左右极限的方法求极限4）掌握在一点连续性质及在区间上连续性质5）了解初等函数的连续性例题：P77: 例 3，4；P79: 例 9. P84：例 2.习题：P81：2，6，17, 19; P85 总练习题: 2, 7, 9.第 5 章 导数与微分（1）熟练掌握导数的定义，几何、物理意义会用导数定义求极限2）牢固记住求导法则、求导公式。

3）会求各类的导数（复合、参量、对数求导法、高阶导数） 4）掌握微分的概念5）深刻理解连续、可导、可微之关系例题：P89: 例 4，5；P93: 例 8. P109：例 6.习题：P94：4，11，12, 14; P117 总练习题: 4，7.第 6 章 微分中值定理及其应用（1）牢固掌握微分中值定理及应用（包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理） 2）会用洛比达法则求极限3）会判断函数的单调区间、极值、最值、凹凸性与拐点例题：P128: 例 4；P130: 例 8，P131：例 10，12；P154 例（不作图）.习题：P124：4，7, 9，13; P133: 8; P153: 5; 8; P159 总练习题: 6,12,13.第 8 章 不定积分（1）掌握原函数与不定积分的概念2）记住基本积分公式3）熟练掌握换元法、分部积分法4）了解有理函数积分步骤，并会求可化为有理函数的积分例题：P185: 例 6； P187: 例 13，14习题：P188：1（11） （12） （23） ，2（5）(6).第 9 章 定积分（1）掌握定积分定义、性质会用定积分定义求数列极限2）了解可积条件，可积类。

3）深刻理解微积分基本定理，并会熟练应用4）熟练计算定积分例题：P216: 例 1，例 2；P225: 例 1，例 4.习题：P207：2; P229: 2,3,5,7; P237 总练习题: 2,3.第 10 章 定积分的应用（1）熟练计算各种平面图形面积2）会求旋转体或已知截面面积的体积3）会利用定积分求孤长、曲率、旋转体的侧面积4）会用微元法求解某些物理问题（压力、变力功、静力矩、重心等） 例题：P239: 例 1；P244: 例 2；P249 例 1，2；P254：例 1..习题：P242：1; P255: 1(1).下册第 12 章 数项级数（1）掌握数项级数敛散的定义、性质2）熟练掌握正项级数的敛、散判别法3）掌握条件、绝对收敛及交错级数的莱布尼兹判别法例题：P2: 例 2；P8: 例 2；P11 例 7.习题：P5：3，4，5; P16: 4，5，6，7；P25 总练习题: 2,3.第 13 章 函数列与函数项级数（1）了解函数列与函数项级之间的关系，掌握函数列及函数项级数的一致收敛定义2）掌握函数列、函数项级数一致收敛的判别法3）了解函数列的极限函数，函数项级数的和函数性质。

例题：P30: 例 3.习题：P35：1（1） （2） （4） ，2，4，8（2） ；P41: 7.第 14 章 幂级数（1）熟练幂级数收敛域，收敛半径，及和函数的求法2）了解幂级数的性质3）了解求一般任意阶可微函数的幂级数展式的方法特别牢固记住六种基本初等函数的马克劳林展式4）会利用间接法求一些初等函数的幂级数展式例题：P47: 例 4.习题：P51：2,8；P61 总练习题: 3(2)(3).第 16 章 多元函数极限与连续（1）了解平面点集的若干概念2）掌握二元函数二重极限定义、性质3）掌握二次极限，并掌握二重极限与二次极限的关系4）掌握二元连续函数的定义、性质5）了解二元函数关于两个变量全体连续与分别连续的关系例题：P95: 例 3； P98: 例 8.第 17 章 多元函数微分学（1）熟练掌握，可微，偏导的意义2）掌握二元函数可微，偏导，连续以及偏导函数连续，概念之间关系3）会计算各种类型的偏导，全微分4）会求空间曲面的切平面，法线空间曲线的法平面与切线5）会求二元函数的泰勒展式及无条件极值例题：P110: 例 5; P115: 例 6; P120: 例 2.习题：P117：4,5,6,7,11,12；P61 总练习题: 3(2)(3).第 20 章 曲线积分（1）熟练掌握第一型曲线积分的计算方法。

2）熟练掌握第二型曲线积分的计算方法例题：P200: 例 2; P205: 例 1,2,3; P120: 例 2.习题：P201：1(1)(2)(4)；P208: 1(4)(5).第 20 章 重积分（1）了解二重积分，三重积分定义与性质2）掌握二重积分的换序，变量代换的方法3）了解三重积分的换序，会用球、柱、广义球坐标进行代换计算三重积分4) 会用格林公式计算第二型曲线积分5）重积分应用：求曲面面积，转动惯量，重心坐标等例题：P221: 例 2，3; P226: 例 1,2; P240: 例 3，4； P248: 例 3.习题：P231：1(1)(2)；P242: 2(1)(3).第 22 章 曲面积分（1）熟练掌握第一型曲面积分的计算方法2）熟练掌握第二型曲面积分的计算方法3）熟练运用高斯公式计算第二型曲面积分例题：P291: 例 1.习题：P295：1.二、 《高等代数》教材：《高等代数》 （北京大学数学系几何与代数教研室）一、课程的性质、目的与要求：《高等代数》是河北师范大学数学系的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等方面的系统知识。

它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基“（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论，习题课，作业，等） ，使学生对多项式理论、线性代数的“解析理论“、与“几何理论“及其思想方法有较深的认识和理解，从而有助于学生正确理解高等代数的基本概念和论证方法及提高分析问题解决问题的能力二、课程内容与考核要求：第一章 多项式§1 数域的定义,并会判断一个代数系统是否是数域 §2 数域 P 上一元多项式的定义,多项式相乘,次数,一元多项式环等概念多项式的运算及运算律 §3 整除的定义,带余除法及整除的性质§4 两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质用辗转相除法求两个多项式的最大公因式§5 不可约多项式的定义及性质；因式分解及唯一性定理；多项式的标准分解式§6 重因式的定义§7 多项式函数的概念,余数定理,多项式的根及性质多项式与多项式函数的关系§8 代数基本定理复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。

§9 有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法例题：P2:例 1；P14：例；P32:例 1，例 2；习题：P44－46：1，2，3，5，6，7，8，11，12，14，15，19，24，25，27，28.第二章 行列式§1 简单介绍 n 级行列式引入的背景§2 排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义；排列的奇偶性与对换的关系§3 级行列式的定义,能用定义计算一些特殊行列式§4 行列式的基本性质§5 矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，利用行列式性质计算一些简单行列式 §6 元素的余子式、代数余子式等概念行列式按一行（列）展开的公式化三角形法“，“递推降阶法“，“数学归纳法“等计算行列式的技巧§7 克莱姆(Cramer)法则习题：P97－101：8，10，11，13，16，17，18，19.第三章 线性方程组§1 一般线性方程组的解,增广矩阵、线性方程组的初等变换等概念及性质，求线性方程组的一般解§2 维向量及 维向量相等的定义；向量的运算; 维向量空间的概念§3 线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。

两个向量组等价的定义及等价性质定理向量组的极大无关组、秩的定义，求向量组的一个极大无关组§4 矩阵的行秩、列秩、秩的定义矩阵的秩与其子式的关系§5 线性方程组有解的判别定理§6 齐次线性方程组的基础解系的概念，基础解系的求法、线性方程组解的结构定理求一般线性方程组的全部解习题：P155－158：2，3，4，6，7，8，11，12，13，14，16，17，18，20，21，22，23，24第四章 矩阵§1 矩阵概念产生的背景§2 矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其运算规律§3 矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系§4 可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，一个 n 阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵§5 分块矩阵的意义，分块矩阵的加法、乘法的运算及性质§6 初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系，一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵§7 分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，求分块矩阵的逆习题：P197 －202：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，14，16，17，18，19，20，23，24．第五章 二次型§1 二次型和非退化线性替换的概念；二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系；矩阵的合同概念及性质。

§2 二次型的标准形，化二次型为标准形的方法（配方法、初等变换法） §3 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性；惯性定理。