高等数学第11章d11_6高斯公式.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 第六节Green 公式Gauss 公式推广一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 *三、通量与散度 高斯公式 *通量与散度第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、高斯 ( Gauss ) 公式定理1. 设空间闭区域  由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 ,下面先证:函数 P, Q, R 在面 所围成, 则有 (Gauss 公式)高斯  的方向取外侧, 目录 上页 下页 返回 结束 证明: 设称为XY -型区域 , 则定理1 目录 上页 下页 返回 结束 所以若  不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 故上式仍成立 .正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式：定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 用Gauss 公式计算其中 为柱面 闭域  的整个边界曲面的外侧. 解: 这里利用Gauss 公式, 得 原式 =及平面 z = 0 , z = 3 所围空间思考: 若  改为内侧, 结果有何变化? 若  为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 利用质心公式, 注意目录 上页 下页 返回 结束 例2. 利用Gauss 公式计算积分其中 为锥面解: 作辅助面取上侧介于z = 0及 z = h 之间部分的下侧, , ,  为法向量的方向角.所围区域为 ,则 目录 上页 下页 返回 结束 利用质心公式, 注意思考: 计算曲面积分提示: 作取上侧的辅助面介于平面 z= 0 及 z = 2之间部分的下侧. 先二后一目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设 为曲面取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标目录 上页 下页 返回 结束 在闭区域 上具有一阶和 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式例4. 设函数其中 是整个 边界面的外侧. 注意: 高斯公式目录 上页 下页 返回 结束 注意: 高斯公式证:令由高斯公式得移项即得所证公式.目录 上页 下页 返回 结束 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , • 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; • 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 . 例如, 球面所围区域 环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区 域 .既是一维也是二维单连通区域 ;是二维但不是一维单连通区域 ; 是一维但目录 上页 下页 返回 结束 2. 闭曲面积分为零的充要条件定理2. 在空间二维单 连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则①证: “充分性”. 根据高斯公式可知②是①的充分条件. 的充要条件是: ②“必要性”. 用反证法. 已知①成立,目录 上页 下页 返回 结束 因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域 则由 与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的. 取外侧,高斯公式得 目录 上页 下页 返回 结束 *三、通量与散度引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为理意义可知, 设 为场中任一有向曲面, 单位时间通过曲面 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为目录 上页 下页 返回 结束 若 为方向向外的闭曲面, 当 0 时, 说明流入 的流体质量少于 当 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 则单位时间通过 的流量为 当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 . 流出的, 表明 内有泉; 表明  内有洞 ;根据高斯公式, 流量也可表为目录 上页 下页 返回 结束 方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为 , 设 是包含点 M 且为了揭示场内任意点M 处的特性, 在式两边同除以 的体积 V, 并令 以 任意方式缩小至点 M 则有此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. 目录 上页 下页 返回 结束 定义: 设有向量场其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数,  是场内的一片有向 则称 曲面, 其单位法向量 n, 为向量场 A 通过有向曲面  的通量(流量) .在场中点 M(x, y, z) 处 称为向量场 A 在点 M 的散度. 记作显然目录 上页 下页 返回 结束 表明该点处有正源, 表明该点处有负源, 表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场 A 处处有 , 则称 A 为无源场. 例如, 匀速场 故它是无源场.说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且散度意义 目录 上页 下页 返回 结束 例5.求向量场解: 记穿过曲面 流向上侧的通量, 其中 为柱面被平面截下的 有限部分. 则 上侧的法向量为在 上故所求通量为目录 上页 下页 返回 结束 例6. 置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为解: 计算结果与仅原点有点电荷的事实相符. 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 高斯公式及其应用公式:应用:(1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件: 目录 上页 下页 返回 结束 2. *通量与散度 设向量场P, Q, R, 在域G 内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面  的通量为 G 内任意点处的散度为 ( n 为 的单位法向量） 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习所围立体,判断下列演算是否正确?(1)(2) 为目录 上页 下页 返回 结束 作业P234 1 *(2), (4), (5); *2(2) ;*3 ; 4第七节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 设  是一光滑闭曲面, 所围立体  的体 是  外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径试证证: 设  的单位外法向量为 则的夹角,积为V,高斯(1777 – 1855)德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 原则: 代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 在对天文学、大恪守这样的 “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”. 。