专题06 导数大题压轴练（解析版）-高考数学备考复习重点资料归纳汇总.docx

一专三练】 专题06 导数大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·广东·统考一模）已知函数.(1)求的极值；(2)当时，，求实数的取值范围.【答案】(1)极小值，无极大值(2)【分析】（1）先求导数，利用导数判断单调性，根据单调性得出极值；（2）原问题转化为不等式在上恒成立，方法一通过研究函数单调性求得的最小值为，从而求出；方法二通过同构构造函数并研究其单调性最值，从而说明的最小值为，进而求出.【详解】（1）求导得，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以有极小值，无极大值.（2）方法一：由题知不等式在上恒成立，则原问题等价于不等式在上恒成立，记，则，记，则恒成立，所以在上单调递增，又，所以存在，使得，即当时，，此时；当时，，此时，所以在上单调递减，在上单调递增，由，得，即，所以，①当时，因为，所以不等式恒成立，所以；②当时，因为存在，使得，而，此时不满足，所以无解.综上所述，.方法二：由题知不等式在上恒成立，原问题等价于不等式在上恒成立，即在上恒成立.记，则，当单调递减，单调递增，因为即，①当时，因为，所以不等式恒成立，所以；②当时，令，显然单调递增，且，故存在，使得，即，而，此时不满足，所以无解.综上所述，.【点睛】关键点点睛：已知不等关系求解参数范围时，求解的关键是转化为函数最值问题求解，求解最值时常借助隐零点、同构等方法进行求解.2．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）设.(1)求的单调性，并求在处的切线方程；(2)若在上恒成立，求k的取值范围.【答案】(1)递增区间为，递减区间为，(2)【分析】（1）利用函数单调性间与导数的关系，可直接求出单调增区间和单调减区间；再由导数的几何意义，求出函数在处的导数值，即切线的斜率，从而求出切线方程；（2）恒（能）成立问题，转化求函数的最值，再利用的函数的单调性，即可求出结果.【详解】（1）因为，所以，由得到，由，得到，所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为.当时，，所以切点为，又，∴在处的切线方程为：，即.（2）由，即，所以，∵，∴，∴，由（1）可知在上单调递减，下证：，即证：在恒成立，令，则，∴在上单调递增，又∵，∴.∴，∵在上单调递减，∴，即，∴.∴.3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）设函数，.(1)若函数图象恰与函数图象相切，求实数的值；(2)若函数有两个极值点，，设点，，证明：、两点连线的斜率.【答案】(1)1(2)证明见解析【分析】（1）设切点为，结合导数的几何意义求解即可；（2）由有两个极值点，可得有两个不等的正根，且，可得，要证：，即证.令证，进而构造函数，再利用导数求解即可；【详解】（1）设与切于，由，则，所以，则，即，令，则，所以在上单调递增，又，所以，所以.（2）解法一：由，所以，因为有两个极值点，，即有两个不等的正根，且，，要证：，即证.不妨设，即证：，即证：，令证令，在上，证毕!解法二：因为，所以，令，则，因为函数有两个极值点，所以，解得.所以，所以的斜率.令，则，所以在上单调递增，又，所以当时，.不妨设，令，则，所以，即，证毕!【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，通常要分析不等式结构，构造函数求解.本题关键在于分析要证：，即证.令证，进而构造函数，再利用导数求解.4．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知函数．(1)当时，证明：在区间上单调递增；(2)若函数存在两个不同的极值点，求实数m的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）求导，再令，利用导数法判断的正负即可；（2）求导，由存在两个不同的极值点，得到存在两个不同的变号零点，再令，用导数法研究其零点即可；【详解】（1）解：，令，则，当时，，递减；当时，，递增，∴，∴在上单调递增．（2）因为，所以，∵存在两个不同的极值点，∴存在两个不同的变号零点，令，则，，令，，则在上递减，注意到，∴当时，，则，递减；当时，，则，递增，∴．要使有两个不同的变号零点，则，解得．且当时，，当时，，∴．综上：，即m的取值范围为．【点睛】关键点点睛：本题第二问在研究的零点时，不仅要其最小值小于0，也要研究和时的情况.5．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知函数（为自然对数的底数）．(1)若的最小值为1，求在上的最小值；(2)若，证明：当时，．【答案】(1)1(2)证明见解析【分析】（1）求得，求得函数的单调性和，求得，得到，求得，设，由，得到在上是增函数，进而得到在上是增函数，即可求解.（2）由（1）得时，得到，从而得到，转化为上成立，进而转化为，即证，设，利用导数求得函数的单调性，得到，进而证得成立.【详解】（1）解：因为，可得，若，则，在上单调递减，无最小值，因此，令，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，解得，则，可得，设，则在上恒成立，所以在单调递增，即在上是增函数，又由，所以在上是增函数，所以.（2）解：由（1）得时，，即，从而，当时，，又因为，所以，所以在上成立，即在上成立，当时，，，，要证，只要证明，即要证，设，，，易知，所以，是增函数，所以，又时，，所以，即成立，综上，当时，．【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．6．（2023·辽宁辽阳·统考一模）已知函数.(1)求的最小值.(2)若，且.证明：（ⅰ）；（ⅱ）.【答案】(1)7(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析【分析】（1）利用导数求得的单调区间，进而求得的最小值.（2）（ⅰ）利用差比较法证得不等式成立.（ⅱ）将证明转化为证明，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.【详解】（1）.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以.（2）（ⅰ）由（1）可知，，因为，所以，，则，所以.（ⅱ）由得，要证，只需证，只需证，即证.令函数，则，所以，因为，所以，在上单调递减.所以，则，故.7．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）已知为正实数，函数.(1)若恒成立，求的取值范围；(2)求证：（）.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求导，分类讨论判断单调性，结合恒成立问题运算求解；（2）根据（1）可得不等式可证，构建，利用导数证明，结合裂项相消法可证.【详解】（1），①若，即，，函数在区间单调递增，故，满足条件；②若，即，当时，，函数单调递减，则，矛盾，不符合题意. 综上所述：.（2）先证右侧不等式，如下：由（1）可得：当时，有，则，即，即，则有，即，右侧不等式得证. 下证左侧不等式，如下：构建，则在上恒成立，故在上单调递减，则，即，可得，即，则有，即，∵，则，故，左侧得证.综上所述：不等式成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤：(1)作差或变形．(2)构造新的函数h(x)．(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．8．（2023·福建泉州·统考三模）已知有两个极值点、，且．(1)求的范围；(2)当时，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由可得，令，其中，分析可知直线与函数的图象由两个交点（非切点），利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围，再结合极值点的定义检验即可；（2）由（1）可知，可得出，，构造函数，其中，分析函数的单调性，可得出，以及，结合不等式的基本性质可证得；然后构造函数，通过分析函数的单调性证出，即可证得结论成立.【详解】（1）解：函数的定义域为，，令可得，因为函数有两个极值点，则函数有两个异号的零点，令，其中，则直线与函数的图象由两个交点（非切点），，令可得，列表如下：减极小值增如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象由两个交点，且交点横坐标分别为、，当时，，则，此时函数单调递增，当时，，则，此时函数单调递减，当时，，则，此时函数单调递增.因此，当时，函数有两个极值点.（2）证明：由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，则有，由于，所以，，即，又因为，令，其中，则，所以，函数在上单调递减，则，因为，所以，，下面证明：.因为，则，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，，令，其中，则，令，则，当且仅当时，等号成立，所以，函数在上单调递减，所以，，则函数在上单调递增，因此，，综上所述，成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.9．（2023·山东聊城·统考一模）已知函数，．(1)若直线是曲线的一条切线，求的值；(2)若对于任意的，都存在，使成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】(1) 直线是曲线的一条切线,根据切点在切线和原函数上，斜率是切点处导数列式求的值即可；(2) 把任意的，都存在，使成立转化，在参数分离转化为恒成立,构造函数 ，求出，进而求出 的取值范围.【详解】（1）由得,设直线 与曲线的切点为,则， 解得因此的值为.（2）由得 设，则 ,因为当时，，所以在上单调递增，又因为所以存在 ，使 ,且当时， ；当时， ；从而 ，且当 时， ；当 时， ,所以函数 在上单调递减，在上单调递增，因此 ,由，得从而 ,所以由对于任意的，都存在，使 成立，得对于任意的，都有 ,即不等式在上恒成立，即不等式 在上恒成立.设 ，则 因为 ，当 时，;当 时，;所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ，因此 ,故 的取值范围为.【点睛】关键点点睛：把任意的，都存在，使成立转化为，参数分离后构造函数求导即可求解.10．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知函数．(1)求在处的切线方程；(2)若存在两个非负零点，求证：．【答案】(1。