……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………第十八讲 乘法公式 乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点： 1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式； 2．根据待求式的特点，模仿套用公式； 3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式．例题 【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题) (2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形． 注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式． 从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法． 乘法公式常用的变形有： (1)，． (2)； (3) ； （4），【例2】 若x是不为0的有理数，已知，，则M与N的大小是（ ） A．M>N B． M0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a，则哪个商场提价最多?说明理由． (河北省竞赛题) 思路点拔 对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x、y的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示，作差比较它们的大小．注： 有些问题常常不能直接使用公式，而需要创造条件，使之符合乘法公式的特点，才能使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等． 完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论： (1)； 揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题． (2) 应用于代数式的最值问题． 代数等式的证明有以下两种基本方法：(1) 由繁到简，从一边推向另一边； (2)相向而行，寻找代换的等量． 【例5】 已知a、b、c均为正整数，且满足，又a为质数． 证明：(1)b与c两数必为一奇一偶； (2)2(a+b+1)是完全平方数．思路点拨 从的变形入手；，运用质数、奇偶数性质证明．学力训练1．观察下列各式： (x一1)(x+1)＝x2一l； (x一1)(x2+x+1)=x3一1； (x一1)(x3十x2+x+1)=x4一1． 根据前面的规律可得(x一1)(x n+x n-1+…+x+1)= ． (武汉市中考题)2．已知，则= ． (杭州市中考题)3．计算： (1)1.23452+0.76552+2.4690.7655： ； (2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ； (3) ．4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式 ． (大原市中考题)5．已知，则= ． (菏泽市中考题)6．已知，则代数式的值为( )． A．一15 B．一2 C．一6 D．6 (扬州市中考题)7．乘积等于( )．A． B． C． D． (重庆市竞赛题)8．若，则的值是( )． A．4 B．20022 C． 22002 D．420029．若，则的个位数字是( )． A．1 B．3 C． 5 D．710．如图①，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．A． B．C． D． (陕西省中考题)11．(1)设x+2z＝3z，判断x2一9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由． (2)已知x2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x—1)2+(x+3)(x一3)+(x一3)(x一1)． (上海市中考题)12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．13．观察： …… (1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明； (2)根据(1)，计算2000200120022003+1的结果(用一个最简式子表示)． (黄冈市竞赛题)14．你能很快算出19952吗? 为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n＝3……这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论．(1)通过计算，探索规律． 152225可写成1001(1+1)+25；252=625可写成1002(2+1)+25；352=1225可写成100 3(3+1)+25；452＝2025可写成1004(4+1)+25；……752＝5625可写成 ；852＝7225可写成 ．(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ．(3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝ ． (福建省三明市中者题)15．已知，则= ． (天津市选拔赛试题)16．(1)若x+y＝10，x3+y3=100，则x2+y2＝ ．(2)若a-b=3，则a3-b3-9ab＝ ．17．1，2，3，……，98共98个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是 ． (初中数学联赛)18．已知a-b=4，ab+c2+4=0，则a+b=( )． A．4 B．0 C．2 D．一219．方程x2-y2=1991，共有( )组整数解． A．6 B．7 C．8 D．920．已知a、b满足等式，则x、y的大小关系是( )． A．x≤y B．x≥y C．xy (大原市竞赛题)21．已知a=1999x+2000，b＝1999x+2001，c＝1999x+2002，则多项式a2+b2+c2一ab—bc-ac的值为( )． A．0 B．1 C．2 D．3 (全国初中数学竞赛题)22．设a+b=1，a2+b2=2，求a7+b7的值． (西安市竞赛题)23．已知a满足等式a2-a-1=0，求代数式的值． (河北省竞赛题)24．若，且，求证：． (北京市竞赛题)25．有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用xl，y1顺次表示第一号选手胜与负的场数；用x2，y2顺次表示第二号选手胜与负的场数；……；用x10、y10顺次表示十号选手胜与负的场数． 求证：．26．（1）请观察： 写出表示一般规律的等式，并加以证明． (2)26＝52+12，53=72+22，2653=1378，1378=372+32． 任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗? 注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过分析，可发现其中的奥秘． 瑞士数学家欧拉曾对26(2)的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表示为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个平方数之和．即(a2+b2+c2十d2)(e2+f2+g2+h2)=A2+B2+C2+D2．这就是著名的欧拉恒等式． 第十八讲 乘法公式参考答案7。
