例谈运用构造法证明不等式新课程数学新课程.doc

例谈运用构造法证明不等式在我们的学习过程中，常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用证法一一尝试，均难以凑效这时我们不妨变换一下思维角度，从不等式的结构和特点出发，在已学过的知识的基础上进行广泛的联想，构造一个与不等式相关的数学模型，实现问题的转化，从而使不等式得到证明下面通过举例加以说明一、构造向量证明不等式例1：证明，并指出等号成立的条件简析与证明：不等式左边可看成与 x 和与两两乘积的和，从而联想到数量积的坐标表示，将左边看成向量a=(,)与b=( x, )的数量积，又a·b ≤|a|·|b| ，所以 当且仅当b=λa (λ>0)时等号成立，故由得：x=,λ=1，即 x =时，等号成立 例2：求证：简析与证明：不等式左边的特点，使我们容易联想到空间向量模的坐标表示，将左边看成a =(1－y , x+y－3 , 2x+y－6)模的平方，又 |a|·|b|≥a·b ,为使 a·b为常数，根据待定系数法又可构造 b= (1 , 2 ，-1) 于是|a|·|b|=a·b＝所以即二、构造复数证明不等式例3、求证：简析与证明：从不等式左边的结构特点容易联想到复数的模，将左边看成复数Z1=x+y i , Z2 = x +（1－ y）i ，Z3 = 1－ x + y i ，Z4 = 1－ x +（1－ y）i 模的和，又注意到Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2 i ，于是由 ＋＋＋≥可得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　此题也可构造向量来证明。

三、构造几何图形证明不等式例4：已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：当且仅当时取等号简析与证明：从三个根式的结构特点容易联想到余弦定理，于是可构造如下图形：作OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60° 如图（1）则∠AOC＝120°，AB=，BC=,AC= 由几何知识可知：AB＋BC≥AC∴+≥图（1）当且仅当A、B、C三点共线时等号成立，此时有，即ab+bc=ac故当且仅当时取等号四、构造椭圆证明不等式例5：求证：简析与证明：的结构特点，使我们联想到椭圆方程及数形结合思想图（2）于是令 ，则其图象是椭圆的上半部分，设y-2x=m，于是只需证, 因 m为直线y=2x＋m在y轴上的截距，由图（2）可知：当直线 y = 2 x＋m 过点（，0）时，m有最小值为m=；当直线y =2x＋m与椭圆上半部分相切时，m有最大值由 得：13x2 + 4mx + m2 – 4 = 0令△= 4（52－9m2）=0 得：或（舍）即m的最大值为，故，即五、构造方程证明不等式例6：设 a1、a2、…an 为任意正数，证明对任意正整数n不等式(a1 + a2 + … + an)2 ≤ n ( a12 + a22 + … + an2 )均成立简析与证明：原不等式即为 4 (a1 + a2 + … + an)2－4n ( a12 + a22 + … + an2 ) ≤ 0由此联想到根的判别式而构造一元二次方程：( a12 + a22 + … + an2 ) x 2 + 2 (a1 + a2 + … + an ) x + n=0　　（＊）因方程左边＝ (a1 x + 1)2 + (a2 x + 1)2 + … ＋ (an x + 1)2 ≥ 0当a1、a2、…an不全相等时，a1 x+1、a2 x+1、…an x+1至少有一个不为0，方程（＊）左边恒为正数，方程（＊）显然无解。

当a1＝a2＝…＝an 时，方程（＊）有唯一解 x＝故△＝4 ( a1 + a2 + … + an )2 － 4n ( a12 + a22 + … + an2 ) ≤ 0即(a1 + a2 + … +an )2 ≤ n ( a12 + a22 + … + an2 ) 对任意正整数n均成立六、构造数列证明不等式例7：求证：Cn1+Cn2+…+Cnn > 简析与证明：不等式左边即为 2n －1=从而联想到等比数列的求和公式，于是左边=1+2+22+…+ 2 n－1=[(1+2n-1) + (2+2n-2) + … (2n-1+1)≥·n·=例8：设任意实数a、b均满足| a | < 1，| b | < 1求证：简析与证明：不等式中各分式的结构特点与题设联想到无穷等比数列（| q | < 1）各项和公式S＝，则：=（1 + a2 + a4 + …）+（1 + b2 + b4 + …）=2+（a2 + b2）+ ( a4 + b4) + … ≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … = 七、构造函数证明不等式例9：已知| a | < 1，| b | < 1，| c | < 1 ，求证：ab＋bc＋ca＞－1简析与证明：原不等式即为：（b＋c）a＋bc＋1>0　……①将a看作自变量，于是问题转化为只须证：当－1＜a＜1时，（b＋c）a＋bc＋1恒为正数。

因而可构造函数 f ( a ) = ( b + c ) a + bc +1 (－1＜a＜1)若b + c = 0原不等式显然成立若b + c ≠0，则f ( a ) 是a的一次函数，f ( a ) 在（－1,1）上为单调函数而 f ( -1 ) =－ b －c + bc +1＝（1－b）（1－c）＞0 f ( 1 )＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0∴f ( a ) ＞0　即ab＋bc＋ca＞－1此题还可由题设构造不等式（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0　　　　　　　　　　　　（1－a）（1－b）（1－c）＞0两式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1八、构造对偶式证明不等式例10：对任意自然数n，求证：(1+1)(1+)…(1+) > 简析与证明：设an = (1+1)(1+)…(1+) = ··…·构造对偶式：bn = ··…·，cn = ··…·，即an > bn，an > cn∴> an bn cn∴an > ，即：(1+1)(1+)…(1+) > 小结：从以上几例还可以看出：（1）构造法不仅是证明不等式的重要思想方法，也是解不等式，求函数值域或最值的重要思想方法。

2）运用构造法解题，必须对基础知识掌握的非常熟练，必须有丰富的联想和敢于创新的精神3）不时机地运用构造法，定能激发和培养学生的探索精神与创新能力本文于2004年在《高中数学教与学》第10期上发表）。