初中数学竞赛精品标准教程及练习33：同1法.pdf

初中数学竞赛精品标准教程及练习（33） 同一法 一、内容提要 1.“同一法”是一种间接的证明方法，它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效 的原理 ,当一个命题不易证明时,釆取证明它的逆命题， 2.同一法则的定义是： 如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时,那么它和它的逆命题 同时有效，这称为同一法则， 互逆两个命题一般是不等价的，例如 原命题：福建是中国的一个省（真命题） 逆命题：中国的一个省是福建（假命题） 但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时,则它们是等效的，例如 原命题：中国的首都是北京（真命题） 逆命题：北京是中国的首都（真命题） 因为世界上只有一个中国,而且中国只有一个首都,所以互逆的两个命题是等效的，又如 原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高，（真命题） 逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线，（真命题） 因为在等腰三角形这一前提下,顶角平分线和底边上的高都是唯一的,所以互逆的两个命题 是等效的， 3.釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难,而它与逆命题符合同一法则,则 可釆用同一法,证明它的逆命题,其步骤是： 作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立） 证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设） 二、例题 例1.求证三角形的三条中线相交于一点 已知： ABC 中,AD,BE,CF 都是中线 求证： AD,BE,CF 相交于同一点 分析：在证明AD 和 BE 相交于点G 之后 ,本应再证明CF 经过点 G,这要证明三点共线,直接 证明不易 ,我们釆用同一法：连结并延长CG 交 AB 于 F,,证明 CF,就是第三条中线 （即证明 AF ,F,B） 证明： DAB EBA180 AD 和 BE 相交 ,设交点为G 连结并延长CG交AB于F, 连结 DE 交 CF,于 M DEAB FA ME FB MD FC CM , 即 FA FB ME MD FB ME FA MD FG MG , 即 FB FA ME MD FA FB FB FA , AF ,BF,,AF,是 BC 边上的中线 , F , G A B C D E F BC 边上的中线只有一条, AF ,和 AD 是同一条中线 AD,BE,CF 相交于一点G， 例 2.已知： ABC 中,D 在 BC 上,AB 2AC2BD2DC2 求证： AD 是 ABC 的高 分析：从题设AB 2AC2BD2DC2 证明结论不易,因为 BC 边上的高是唯一的,所以拟 用同一法 ,先作出 AE BC,证明在题设的条件下AE 就是 AD ， 证 明 ： 作AE BC交BC于EA 根据勾股定理 AB 2 AC 2 （AE 2 BE2）（AE 2 EC2） BE2EC2 AB 2 AC 2 BD 2 DC 2 BEDC BD 2 DC2 BE 2 EC2 （BDDC） （BD DC）（ BEEC） （BEEC） BDDCBEEC BDDCBEEC ： 2BD 2BE 即点 D 和点 E 重合 ,即 AD是 ABC 的高 例 3 如图已知：四边形ABCD 中,ABD ADB 15 CBD45 ,CDB30 求证：ABC是等边三角形 证明：在BC或延长线上取点E,使BEAB 连结 AE,DE, 则 ABE 是等边三角形 AEAB AD, EAD 150 60 90 , ADE 45 ADC 45 ,且 DE,DC 在 DA 的同一侧 , DE 和 DC 重合 ,它们与 BC 边的交点E,C 也重合 ABC 是等边三角形 例 4.求证： 33 52521 分析：直接证法,一般是把左边写成 3333 )5252(再化简为1,但没有成功，拟用 45 30 15 15 A B D C E 同一法 ,可认为要证明的 原命题是：有两个数 3 52, 3 52,它们积是 1,则它们的和是1 那么逆命题是：若u+v=1, 且 uv=1,则 u= 3 52,v= 3 52 证明：设u+v=1, 且 uv=1,根据韦达定理的逆定理（初三教材） 得 u,v 是方程 x 2x10 的两个根 x= 2 51 ,即u,v分别等于 2 51 , 2 51 而 u3=（ 2 51 ） 32 5,v3=（ 2 51 ） 32 5 u= 3 52,v= 3 52 即 33 52521 例 5.已知： ACD 是圆的割线 ,点 B 在圆上 ,且 AB 2 ACAD 求证： AB 是圆的切线 证明：过点B 作圆的切线 ,交 DC 于 A1, 则 CBA1 D 由已知 AB 2AC AD, 则 AB AC AC AD , A A ACB ABD CBA D, CBA1 CBA BA 和 BA1重合 ,它们与 DC 的交点是同一个点 即 AB 是圆的切线， 例 6.以 ABC 的三个顶点为圆心,作三个圆两两外切,切点分别是D,E,F,那么过 D,E,F 的圆是 ABC 的内切圆， 分析：用同一法证明,作出 ABC 的内切圆 ,再证明三个切点和 D,E,F 重合 证明：作 ABC 的内切圆和AB,BC,CA 分别切于 D ,,E,,F, 根据切线长定理 ,得 AD , AF, 2 abc ,BE ,BD, 2 bca ,CF,CE, 2 cba 设 A,B,C 半径长分别为x,y,z bxz azy cyx ,解得 ,x= 2 abc ,y= 2 bca ,z= 2 cba F A D l B A1 D C A AD ,AD,BE,BE,CF,CF 即 D,与 D,E,与 E , F,与 F 重合， ABC 的内切圆和各边切于D,E,F 即过 D,E,F 的圆是 ABC 的内切圆， 三、练习33 1.用同一法证明： 三角形的中位线平行于第三边 梯形中位线平行于两底 2.已知 E 是正方形ABCD 内的一点 ,EAB EBA15 求证 ECD 是等边三角形 3.已知 ABC 中 ,ABAC, A 36 ,在 AC 上取点 D,使 AD BC 求证 BD 是 ABC 的平分线 4.如果梯形的一条腰等于两底和,那么夹这条腰的两个角的平分线的交点,必是另一腰中点 5.ABC 中, CRt,ACBC,点 D 在 AC 上,且 CDABBC 求证 BD 平分 ABC 6.正方形 ABCD 中 ,M,N 分别是 CD,BC 的中点 ,DEAM 于 E,求证点 N 在 DE 的延长线上 7.已知：四边形ABCD 中,E,F 和 GH 分别三等分AB 和 CD, M 和 N 分别是 BC,AD 中点 ,ND 求证：A MN 平分 EH 和 FGEH MN 被 EH,FG 三等分FG BMC 8.已知：矩形ABCD 中,AB 2BC,点 E 在 CD 上,且 CBE15 求证： AEAB 9.已知： AD 是四边形 ABCD 外接圆 O 的直径 ,ABC 120 ACB 45 点 P 在 CB 的延长线上 ,且 PB2BC 求证： PA 是 O 的切线 10.已知： H 是 ABC 的垂心 （三条高的交点）,过 H,B,C 三点作 O,延长 ABC 的中线 AM 交 O 于 D 求证： AM MD AOOD C B j M H A B C D P 练习 33 参考答案： 1.过一边中点作底边的平行线,证它经过另一边中点 2.以 CD 为一边向形内作等边E1CD,证 E1AB E1BA 15 3.作 ABC 的平分线 ,证它与 BD 重合 4.取另一腰的中点, 5.同 3,作 ABC 的平分线 ,证它与 BD 重合 6.延长 DE 交 BC 于 N ,,证明 N,是 BC 的中点 7.取 EH 的中点 P,FG的中点 Q,则 PFMG 和 QHNE 都是平行四边形,PM 过 FG 中点 ,QN 过 EH 中点 , M,Q,P,N 是同一直线 8.作等腰三角形ABE1交 CD 于 E1,证明 E1和 E 是同一点， 9.过点 A 作 O 的切线交CB 于 P1,证明这 P1B 2BC 设 AD 2R,可得 AC3R,AB2R, P1AB这 P1CA, AP BP 1 1 CP AP 1 1 3 2 10. 延长 AM 到 D,,使 MD ,AM, 证明点 D,在圆上，即 B,H,C,D ,四点共圆， 。