第三章 泊松过程与更新过程.docx
27页
第三章泊松过程与更新过程泊松过程(Poisson process )最早是由法国人Poisson于1937年引入的.它 是一类较为简单的时间连续状态离散的随机过程，在物理学、地质学、生物学、医学、 天文学、服务系统和可靠性理论等领域都有广泛的应用3.1泊松过程的定义和数字特征在第二章中，我们已经定义了泊松过程，在实际应用中，考虑一个来到某“服务 点”要求服务的“顾客流”，顾客到服务点的到达过程可以认为是Poisson过程.当抽象 的“服务点”和“顾客流”有不同的含义时，就可形成不同的Poisson过程，下面我 们先看几个实例.例3.1考虑某一交换台在某时间段接到的呼唤，令N(t)表示交换台在(0,t］收到呼唤的次数，^9{N(t),t > 0}是一个Poisson过程.例3.2考虑机器在(t,t + h］内发生故障这一事件，若机器发生故障，立即进行修理，在(t,t + h］内发生故障而停工的机器数构成一个随机过程，可以用Poisson过程来描 述.定义3.1称记数过程{N(t),t > 0}是强度为人的Poisson过程，如果满足条件：(1) N(0) =0；(2) N(t)是平稳增量与独立增量过程；(3) P{N(h) = 1} = Xh + o(h), h > 0 ；(4) P{N(h) > 2} = o (h),h > 0.上述定义中条件(3)表明在充分小的时间间隔h内到达一个“顾客”的概率与时 间间隔h的长度成正比，条件(4)表明在很小的时间间隔h内不可能到达两个或两个 以上的“顾客”.在实际应用中，很多随机现象都近似地满足这两个条件，因此，可用 Poisson过程来描述.定理3.1 定义2.15和定义3.1是等价的.证明 一方面，定义3.1 n定义2.15.在定义3.1的条件下，记P (t) = P{N(t) = n}，令h > 0，贝nP (t + h) = P{N(t + h) = 0} = P{N(t) = 0, N(t + h) - N(t) = 0}0=P{N(t) = 0}・P{N(t + h)-N(t) = 0}(独立增量性)=P{N(t) = 0}・P{N(h) = 0} (平稳增量性)=P (t)[1-Xh + o(h)](由定义中(3) (4)) 0因此， P0(t + h)-P0(t)―P (t) + °(h)，令 h 一 0,取极限得，P'(t)=—人P (t)， h 0 h 0 0再由初始条件P(0) = P{N(0) = 0} =1，解得：PQ(t) = e项.类似地，对n > 1P (t + h) = P{N(t + h) = n}n=P{N (t) = n, N (t + h) — N (t) = 0} + P{N (t) = n — 1, N (t + h) — N (t) = 1} +X P{N (t) = n — j, N (t + h) — N (t) = j}j=2=P (t) - P (h) + P (t)P (h) + ° (h) = P (t)(1—人h) + XhP (t) + ° (h) n 0 n—1 1 n n—1由此 Pn (' = (') =—" + X P (t) + 业，h 「’ n-1 h令h — 0,取极限得微分方程P'(t)=—人P (t) + 人P (t) n n n—1因此匕 ext [ P'(t) + 人 P(t)] = e & P 1(t)也就是 —[eXtP (t)] = eXtxP (t)dt n n—1当 n = 1 时，由 P (t) = e-xt 得到 d [e^tP (t)] = X， 0 dt 1再由P (0) = 0，可解得 P (t) = x te-舄 1 1e-如(x t) n 最后，由数学归纳法，并注意到P (0) = 0,得到P (t)= 一孚'. n n n!另一方面，定义2.15 n定义3.1.定义2.15的条件(3)可知N(t)是平稳增量过程，只需验证定义3.1中(3)和(4).由定义2.15的条件(3)，对于充分小的h > 0，有P{N (t + h) — N (t) = 1} = P{N (h) — N (0) = 1} = P{N (h) = 1}n=0=e-M ——= XhX(-xh) n =Xh[1—Xh+° (h)] = Xh + ° (h) 1! n!又有 P{N(t + h) -N(t) > 2} = P{N(h) -N(0) > 2} = P{N(h) > 2}(*h) n=X e-知 =o (h)n!n=2因此，定义3.1中(3)和(4)成立.下面的定理给出了 Poisson过程几个常见的数字特征定理3.2设随机过程{N(t),t > 0}是强度为人的Poisson过程，则有(1) 期望函数和方差函数：mN(t) = Dn(t) = Xt ；(2) 协方差函数：Cn(s,t) = X min(s,t)；(3) 相关函数：Rn(s,t) = X2st + Xmin(s,t).证明 设{N(t),t > 0}是Poisson过程，对于任意的s,t e [0,8)，不妨设s < t，E[ N (t) - N (s)] = D[ N (t) - N (s)] = X (t - s),由于N (0) = 0，故mN (t) = E[ N (t)] = E[ N (t) - N (0)] = X tDn (t) = D[ N (t)] = D[ N (t) - N (0)] = X tRn (s, t) = E[ N (s) N (t)] = E{N (s)[ N (t) - N (s) + N (s)]}=E[ N (s) - N (0)][ N (t) - N (s)] + E[ N (s )]2=E[ N (s) - N (0)] E[ N (t) - N (s)] + D[ N (s)] + {E[ N (s )]}2=XsX(t - s) + Xs + (Xs)2 = X2st + Xs因此 Cn (s, t) = Rn (s, t) - mN (s)mN (t) = X s .当s > t时，类似可以证明Cn(s,t) = Xt故 C (s, t) = X min(s, t)，R (s, t) = X2st + X min(s, t).3.2与泊松过程相关的分布如果我们用Poisson过程描述服务系统接受服务的顾客数，则顾客到来接受服务 的时间间隔、顾客排队等待时间等相关的分布都需要进行研究，这节我们将对Poisson 过程与时间特征相关的分布进行讨论.3.2.1 到达时间间隔和等待时间的分布设｛N(t), t > 0｝是强度为人的Poisson过程，令〈表示第一个顾客到达的时刻，T(n > 1)表示第n-1个顾客与第n个顾客到达的时间间隔(如图3-1所示)，称 ｛T, n = 1,2, ｝为到达时间间隔序列.它们都是随机变量，有关时间间隔序列的分布， 我们有下面的定理.定理33・强度为人的Poisson过程到达时间间隔序列I》n = 1,2, ｝是相互独立的随机变量序列，并且是具有相同均值1人的指数分布.证明首先注意到事件｛〈 >』发生当且仅当Pgn过程在［M内没有顾客到达，即 P{t >t}= P{n(t) = 0}= e-N1因此'1-e-Nt, (t > 0)0, (t < 0)即T1服从均值为1/人的指数分布.对于T，求已知T的条件下T的条件分布，由于 2 1 2P｛T > 11T = s｝= P｛(s,s +1］内无顾客到达IT = s｝(独立增量性)=P｛(s, s + t］内无顾客到达｝(增量平稳性)=P｛N (t) = 0｝ = e-N因此，孔与T1独立，且孔也服从均值为"的指数分布.用相同的方法，我们可以得到T服从均值为1人的指数分布，且『,,T-1相互 独立，定理得到证明.下面我们不加证明给出定理3.3的逆定理.• • ・定理3.4设｛N(t),t > 0｝表示时间间隔(0,t］中到达的顾客数，Tn = 1,2, ｝为顾客达到的时间间隔序列，且为独立服从均值为1•快指数分布的随机序列，则• • •｛N(t), t > 0｝为强度为人的Poisson过程.定理3.3和定理3.4给出了 Poisson过程与指数分布之间的关系.直观上，由于 Poisson过程具有独立增量性，因此，各个顾客的到达是独立的，而Poisson过程又 具有平稳增量性，故此时间间隔与上一段时间间隔的分布应该相同，即有“无记忆性.具有无记忆性的连续分布只有指数分布.r T1“ T 2 T 』* 「T *0 W 吧 W W 1 w图3-1 w与t的关系图另一个值得探讨的问题是等待时间W的分布.直观上，W可以理解为第n个顾客出现的时刻，故有吃=乎T,(n > 1)，由定理3.3知，Wn是n个相互独立的指数分布 i=1随机变量的和，用特征函数的方法，我们可以得到定理3.5等待时间w (n > D服从参数为n，入的r分布.证明 首先注意到第n个顾客在时刻f或之前来到当且仅当到时间t已到来的顾客 数目至少是n，即{w
吗-七则第二个顾客不需要等待等价于T2 >a .由定理3.3知P{T >a } = e-Xa等待时间I 0,(T
