线性代数自考知识点汇总.docx

行列式1. 行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等 D Dt .性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零a b c如 a b c 0a b c性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k，等于用数k乘此行列式a11a12a13a11a12a13如ka21ka?2ka23ka21a22a23a31a32a33a31a32a33推论2如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零.a b c如 a b c 0ka kb kc性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和a11a12a13a11a12a13a11a12a13如a21 a21a22 a22a23 a23a21a22a23a21a22a23a31a32a33a31a32a33a31a32a33性质5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行 （列）对应的元素上去，行列式的值不变•a11a12a13a11a12a13如a21a22a23a21a22a23a31a32a33a31 kana32 ka12a33 ka132. 余子式与代数余子式在n阶行列式中，把元素aj所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素 aj的余子式, 记作Mj , f （ 1）i jMj叫做元素aj的代数余子式.ai1 ai2 ai3如a21 a22 a23，元糸a23的余子式为M 23a11a12a31a32a31 a32 a33兀素a23的代数余子式为 A23 （ 1）23M23a11a12a31a323.行列式按行（列）展开法则定理1行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D8i 1 Ai 18i2i1,2,L,n;a11a12a13a21a22a23a31a32a33Ai 2 L 3in Ain 或 D 81 j A1 j a2j A2j L 3nj Anj1,2L na11 A11 a12 A12 a13 A13定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即ai1Aj 1 ai2Aj2L ain Ajn 0,或 a1 j A1j a2 j A2 j L anj Anj 0, i j -i 1,2,L ,n;j1,2L n4.行列式的计算(1)二阶行列式(2)三阶行列式a11a12a13a21a22a23a31832a33a11a22a33a21(3)对角行列式三角行列式a11a12a22a〔1 a?2 a〔2a21a12a23a31a13a21a32a13a22a31a12a21a33a11a23a322Ln( m 1) 2~1)1 2L na11a21Ma22Ma11a12a22a1na2nMQn a22 L annan1an2 Lannann811K81,n 1 81n81na21Ka2,n 1a2,n 1a2nMNNNMan1an1an2Kannn( n 1)(1) 2弘82』丄aM消元法：禾U用行列式的性质, 降阶法：利用行列式的性质,（5）（6） 行列式的阶数求出行列式的值 •（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行） 式，进而求出行列式的值•将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值化某行（列）只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低，再提出公因矩阵1. 常见矩阵1）对角矩阵 ：主对角线以外的元素全为0 的方阵，称为对角矩阵•记作A •2)单位矩阵 ：主对角线上的元素全为 1的对角矩阵，称为单位矩阵.记作E.a11a12La1na22La2n3)上三角矩阵：对角线以下的元素全为0 的方阵 .如OManna114)下三角矩阵：对角线以上的元素全为0 的方阵 .如a21a22MMOan1an2Lann5)对称矩阵 ：设A为n阶方阵，若 AA ，即 aijaji，则称A为对称矩阵 •6)反对称矩阵:设A为n阶方阵，若AT A，即aijaji，则称 A 为反对称矩阵7）正交矩阵：设A为n阶方阵，如果2. 矩阵的加法、数乘、乘法运算（1）矩阵的加法abc如defabcadefdAA E 或 A A E ，则称 A 为正交矩阵注：① 只有同型矩阵才能进行加减运算;② 矩阵相加减就是对应元素相加减 （ 2）数乘矩阵a b c ka kb kc如kd e f kd ke kf(bij )s n ， 规定 AB C (cij )m n注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素 （3）矩阵的乘法：设 A （aij ）m s ,Bs其中 cij ai1b1 j ai2b2 j L aisbsj aik bkj (i 1,2 ,L ,m, j 1,2 ,L ,n.)k1注：①左矩阵A的列数等于右矩阵 B的行数；②左矩阵A的第i行与右矩阵B的第j列对应元素乘积的和是矩阵乘积 C的元素Cij .③左矩阵A的行数为乘积 C的行数，右矩阵 B的列数为乘积 C的列数• 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵（即一个数） ，即21a11 a12 La1sMa11b11ai2b21L aisbs1列矩阵乘行矩阵是a11a11 bl1a11b12Lanb*21a21bl1a21 5La2〔b[» 皿 L RsMMMMas1as1 Sas1b12Las1b1S阶方阵，即sss3. 逆矩阵设n阶方阵A、B,AB=EBA=E，则B都可逆,且A1B,B1 A.(1)二阶方阵求逆,，则A1Aa*ad be（两调一除法）aa1a1(2)对角矩阵的逆a2a2aiananan(3)Asa2分块对角阵的逆A2AsA2 1As1般矩阵求逆，初等行变换的方法:ERTA14. 方阵的行列式的行列式•记作A或det （A）.由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做方阵5. 矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换:（1）互换两行（列）；（2）数乘某行（列）；（3）某行（列）的倍数加到另一行6.初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵001100100如010 ,,0k0,010都是初等矩阵100001k017.矩阵的秩矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵 A的秩•记作R（ A ）或r（ A）求矩阵的秩的方法：（1）定义法：找出 A中最高阶的非零子式， 它的阶数即为A的秩•非零行的行数（2）初等行变换法： A ERT 行阶梯形矩阵，r（ a）=r （行阶梯形矩阵）8. 重要公式及结论（1）矩阵运算的公式及结论ABBA, (A B) C A (B C),(A B) A B(AB)CA(BC),(A B)C ACBC,(AB)(A)BA( B)Ak1 Ak2Ak1 k2(Ak1 )k2 Ak1k2(A)kkAk ,Ek EAB kk 1A BAB, EA AE A,A0Eat tA, (AB )T At Bt ,TAAT,TABbtatA 丁 At , AB B A , AA A A A Eat| aA n A, AB A B BA, An An, A B矩阵乘法不满足交换律，即一般地 ABM AB;矩阵乘法不满足消去律，即一般地若一般地若AB=AC，无AB=O，则无B=C ;只有当A=OA可逆时,A BB=C.或 B=O.2 2B B?A2 2ABB2.(2)逆矩阵的公式及定理A,丄A11AB1A 1AtA11|AA,1 aA,1 kA可逆（3）矩阵秩的公式及结论|A|m 0（即A与单位矩阵E等价）R(O) 0, R(Amn) min { m, n }, R( AT ) R( A),R( kA) R( A),kA 0 R(A )n, R A B R A R BR( AB ) W R( A ), R( AB ) < R( B ). 特别地，当 A 可逆时， R(AB)=R(B) ；当 B 可逆时， R(AB)=R(A).A ET B A~ B R A R B 即等价矩阵的秩相等 或初等变换不改变矩阵的秩AX=B 的解为 X A 1B ；9. 矩阵方程(1) 设A为n阶可逆矩阵，B为nx m矩阵，则矩阵方程解法：①求出A1，再计算A 1B ;ERTEXXA=B 的解为 X BA 1 ；B，那么称矩阵A与B等价.2)设 A 为 n 阶可逆矩阵， B 为 mx n 矩阵，则矩阵方程 解法：①求出A1，再计算BA 1 ;ECT10. 矩阵间的。