高中立体几何问题的解法比较探究 论 文.doc

高中立体几何问题的解法比较探究摘要立体几何是高中数学的重点内容，又是从中学到大学继续深造学习的必备基础知识. 立体儿何在高考试卷中主要体现在点与线、点与面、线与线、线与面、面与面之间位置、 距离、夹角问题的考查，并且一般都采用一题两法的模式，既可用综合法解答，也可用 向量法解答.向量法相比综合法可以减少一些复杂的思维和推理过程，提高解题效率， 并易为学生接受，但一•些问题虽然可以用向量法来解决，却增大了建系设标和计算过程 的难度，同吋削弱了对空间想象能力、作图能力与逻辑推理能力的要求.所以，高考立 体儿何试题的传统证法依然是对中学数学教学评价必不可少的考查内容之一.因此，在 立体几何解题中对“综合法”和“向量法”的选择和所起的效果上众说纷纭，莫衷一是， 存在着较大的争议•本文将试图通过实例分析比较立体几何问题解决中综合法和向量法 的优缺点及区别联系，探讨如何全面的看待综合法与向量法，以期使二者的积极功能得 以体现.关键词：立体儿何；向量法；综合法；比较1引言 32 文献综述 32. 1国外研究现状 32・2国内研究现状 42. 3国内外研究现状评价 42.4提出问题 43向量法求解立体儿何问题的方法 43・1向量法证明平行问题的方法 43. 2向量法证明垂直问题的方法 53. 3向量法求解空问距离的方法 53.4向量法求解空间角问题的方法 74 综合法解决立体儿何问题的方法 84.1综合法解决线线、线而、而而平行与垂直的判定和性质 84. 2综合法解决空间距离的方法 94. 3综合法解决空问角的方法 95向量法与综合法选择上的例题分析 95.1综合法与向量法解决问题的思路 95. 2综合法与向量法的应用 106 两种方法的比较分析 176. 1综合法和向量法的区别与联系 176. 2向量法与综合法的优缺点 186. 3向量法与综合在选择丄的思考 197 结论 207.1主要发现 207.2启示 207. 3努力方向 20参考文献 211引言数学问题（简称数学题）是指数学上要求冋答或解释的疑问，广义的数学问题是指 数量关系和空问形式中出现的困难和矛盾，例如儿何问题、复数问题、四色问题等等. 狭义的数学问题则是己经明显表示出来的题用命题的形式加以表达，包括证明类问、 求解类问题等⑴对于我们数学学习者而言，大多有这样的经历：-道题，自己怎么想也 想不出解法，但是有些人却给出了一个巧妙的解法•如果这个解法不是很难，我们会问 “ 口己完全可以提出，但为什么我没有想到呢？ ”美籍匈牙利数学家G. polya[2：对揭示 数学问题解决规律进行了深入的研究，其中《怎样解题》一书成了世界范围内的数学教 育名著•这本书的核心是他分析解题的思维过程得到的一张“怎样解题”表，在“怎样 解题”表Polya将解题过程分为：理解题H、拟定方案、执行方案和回顾四个阶段， 为数学解题方法的研究提供了很好的思路.木文就高考数学中的立体几何问题中的解法（向量法与综合法）进行了比较探讨. 由于立体儿何在培养学生空问想象能力、逻辑推理能力等方面有着独到的作用，因而它 成为历届高考重点考查的内容在历年的高考中约占12%.高考数学试卷中单纯的三 角函数问题的难度系数一般不会在超过0.5,所以应在基础知识，基本技能落实的基础 上注意类比、转化思想，数行结合思想的应用，借助向量知识、点-线-面之间的性质等 工具，选取合理、快捷的解题方法.2文献综述2.1国外研究现状美国在70年代就已引入了 “向量”内容，美国NCTM公布的《中小学数学课程和 评价标准》中强调“在理解基本的几何关系时，用各种各样的表示方法（图像的、代数 的、坐标的）、各种各样的工具，以及技术手段解决有意义的几何问题；尤其强调要理 解“坐标体系”为表示几何图形提供了方便的、有效地途径并能相应的加以使用•”由 此可见美国比较重视现代儿何知识.俄罗斯在60年代中期（前苏联）展开了所谓的“现 代数学运动” •依据1968年的《大纲》编写的教材，就是用向量的数量积运算研究空 间的垂直关系，用空间的坐标方法研究多面体等.但它既重视传统几何，又兼顾现代几 何.比如在主张广泛引入坐标方法、向量方法的同吋，仍重视用几何的传统方法培养学 牛的空间意识.2.2国内研究现状在这个方面进行研究的多是来自一线的教师，浙江正始中学胡乾彪在文献［3］空间 向量的研究中设计了调查问卷，从解答立体儿何问题吋学生用两种方法的习惯、解题速 度、精确度、掌握的难易程度方而展开，最后得出结论学生解题更倾向于采用向量法•“用 向量法解决立体几何问题，使许多立体几何中形的思维转化为数的构想，从而 使现代思想中数形结合的思想更充实了形数结合的内容，把许多空间抽象概念转化为具 体的代数运算，降低了许多立体几何难题的艰辛度”.北京师范大学厦门海沧附属实验 中学吴厚荣在文献［4］通过学生解答问题的对比实验，发现学生更倾向于选择向量法， 血且有部分同学认为向量法是万能的，在遇到用综合法比较好做血用向量法比较难做时 往往无从下手•陈雪梅在文献［5］对用向量法处理立体几何问题（位置关系与角的度量） 的教学效果进行了调查研究，认为向量的引入没有加重学生的思维负担.黄立明在文献 ［6］中提醒教师在立体几何教学小应谨防向量工具的负效应，过分的应用导致学生对空 问位置关系的判断能力降低.2.3国内外研究现状评价国内对立体几何的这两种解法的研究可以看到，向量已从最初进入中学课程时，教 育工作者对用向量解决立体儿何问题的态度由开始的不习惯发展到后来的认同到现在 的反思•也说明我们有必要去客观的分析二者在解决立体几何问题吋的不同功能，以期 能够有助于学生学好立体几何内容.2. 4提出问题本文结合专家、学者、一•线教师发表的论文和专著，提出自己的思考，然后对几何 学的教育价值以及向量的进入中学的过程及教材内容的比较作研究综述，试图通过实例 分析比较立体几何问题解决中综合法和向量法的不同功能，探讨如何全面的看待综合法 与向量法，以期使二者的积极功能得以体现.3向量法求解立体几何问题的方法3.1向量法证明平行问题的方法3. 1. 1线线平行共线向量定理：设&分 别是两条不重合的直线—方的方向向量，则a // h Od=Xb 61WR,且;I HO丿•3. 1.2线面平行方法一：设直线L在平而仅外兀是L的一个方向向量二是Q的一个法向量，贝U—* —♦ —♦ —L H a 0 q 丄 〃 a • n =0.方法二：对于向量“，存在实数x,y,有p = xa + yly （a与乙不共线）,则"与a, 乙共面，即2与7、乙所确定的平面平行或在其内.3. 1.3面面平行设叫乃分别是两个不重合的平面S 0的法向麗则6r///?<=>m//n<=>m =X nQ ER且QHO丿・3. 2向量法证明垂直问题的方法3. 2. 1线线垂直设a, A分别为宜线a, b的一个方向向量，则。

丄boa丄乙u> 二0.3. 2. 2线面平行设：为直线L的一个方向向量，方是平而a的一个法向量，则L丄a^>a//n<^a 二久方（A ER且兄H0）・3. 2. 3面面垂直设加，〃分别为平而a, 0的一个方向向量，则a丄“O加丄〃 m-n = 0.3. 3向量法求解空间距离的方法3.3. 1两点间的距离设空间两点卩1（兀1，儿辽1），卩2（兀2，儿辽2）的距离：d~\P\ P2I = j（Q 一兀 2）2 +（兀一『2）2 +（?1-22）2 ・3.3.2点线间的距离方法一：点P纟直线「设：是直线厶的一个法向量，在L上取点A，厉在：上的投影为丨04 |二生，则点P到直线L的距离d = \0A\ = 竺 [\\a\ \a\方法二：空间点到直线L的距离公式：设直线L的方程为二^ = 二^ = 二!1.tn n p点、Mo（x（）,儿,zo）是直线厶上的点‘则空间点、M ]（兀1，儿,Zi）到直线厶的距离为儿—儿 Z1P+Zl — Zo X1-XO+X] - X儿一儿n pp mmn勺 m2+n?十 p23.3.3点到面的距离方法一：设点Mo（xo，y（），zo） E平而—平而兀：Ax+By + Cz + DnO.空间中点Mo 到平而兀的距离公式：』严儿+5 .77T7+C2方法二；设平面Q的斜线AO n od是Q的一个法向量，则点A到平面Q的距AO-n肉 d -—-—113.3.4线线间的距离方法一:设d, A分别是异面宜线db的方向向量，斤是d，方的法向量在d丿b上各—. 一 ABh取一点A,B,如5在力丄的投影H创n方法二：空间中两异而直线4和L2Z间的距离公式设直线Li的方程为—=二^ =二也 （i-1, 2）mi m Pi兀2—兀i y2~y\ Z2_zi力 1 Hi Px[7]3.4向量法求解空间角问题的方法3.4.1线线角a・ba■bcos |设异面直线a、b的夹角为&( 0 <&W9(T ) , a、&分别为a, “的一个方向向量，则COS03.4.2线面角若直线a与T•面Q斜交于B点、,P在直线a上，PA丄a于A, n为平•面Q的法向量,与a所成角为& (0W&W9(T),贝ijsin^=sin3.4. 3二面角二面角a-L~ 0为0 (0W0W18(y), 2为平面a的法向量，岚为平面0的法向量，则 cos & 二cos (nmnm ■ n那么向量72m的夹角〈乃，加〉就是二面角a—AB _卩(或其补角)的大小.到底是哪种关系要通过观察图形來确定.若二面角是锐角，则选正的余弦值；若二 面角是钝角，就选取负的余弦值，这种方法简单但容易判定失误.鉴于这种情况，国内 主要专业期刊有不少的文章进行了讨论并给出了解决方案，如文献［8,9, 10,11］等.下 面是文献［8］给出的一种方法：首先明确一个概念：在二而角两个而内分别取一点，以这两个点为端点的线段的内 点称为二面角的内点，二面角的内点的集合称为二面角的内部•这样，我们就可以有二 而角两个而的法向量对于二而角的内部“戳出”或“戳进”的概念，那么，二而角a-L-fi的大小& (OW&Wtt),与两个法向量夹角〈血，n2>=0的大小必是互补(两个法向量 都是“戳进”或都是“戳出”时,Sl(a), (b))或者相等(两个法向量一个“戳进” 一个 “戳出”吋，图1 (c)).图14综合法解决立体几何问题的方法4.1综合法解决线线、线面、面面平行与垂直的判定和性质垂直(1)同平行于直线c的两直线平行行(1) 丄 b,b//cna 丄 c(2)QC0=b,d//a, du0nallb直线a和(3) a(~\)3 = byalla.all(3 n allb 直线b(4) o 丄 a , b A_ a -=> allb(2) d丄d ,方u g => g丄方(3) 三垂线定理及其逆定理(5)两平行平面都和第三个平面相交 分别交于Q与b ,则交线平行(4) a// a f b 丄 a=> a 丄 b直线 a (1) a ya,b ua、ciHbn aIIocQ)与平(2) Q〃0,d U 0 => d〃Q 面(1) m,n u cn = B, a 丄m, g 丄 => g 丄 a(2) a // b y b 丄 a => c。