利用导数证明不等式的四种常用方法.doc

1利用导数证明不等式的四种常用方法利用导数证明不等式的四种常用方法杨玉新(绍兴文理学院 数学系, 浙江 绍兴 312000)摘摘 要要: 通过举例阐述了用导数证明不等式的四种方法,由此说明了导数在不等式证明中的重要作用.关键词关键词: 导数; 单调性; 中值定理; 泰勒公式; Jensen 不等式在初等数学中证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、 数学归纳法和构造法.但是当不等式比较复杂时，用初等的方法证明会比较困难,有时还证 不出来.如果用函数的观点去认识不等式,利用导数为工具,那么不等式的证明就会化难为易.本 文通过举例阐述利用泰勒公式, 中值定理,函数的性质, Jensen 不等式等四种方法证明不 等式,说明了导数在证明不等式中的重要作用.一、利用泰勒公式证明不等式一、利用泰勒公式证明不等式若函数在含有的某区间有定义,并且有直到阶的各阶导数,又在点处)(xf0x) 1( n0x有阶的导数,则有公式n)(0)(xfn)()(!)()(! 2)()(! 1)()()()( 00)( 2 00 00 0xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn  L在上述公式中若(或),则可得0)(xRn0)(xRn)( 00)( 2 00 00 0)(!)()(! 2)()(! 1)()()(nn xxnxfxxxfxxxfxfxf L或)( 00)( 2 00 00 0)(!)()(! 2)()(! 1)()()(nn xxnxfxxxfxxxfxfxf L例例 1 1 证明: ).11(,32)1ln(32 xxxxx 证明证明 设) 11)1ln()(xxxf （则在处有带有拉格朗日余项三阶泰勒公式)(xf0x) 11()1 (432)1ln(4432 xxxxx20)1 (444 xQ32)1ln(32xxxx 由以上证明可知,用泰勒公式证明不等式,首先构造函数,选取适当的点在处展开,0x0x然后判断余项的正负,从而证明不等式.)(xRn二、利用中值定理证明不等式二、利用中值定理证明不等式微分微分中值定理中值定理: 若满足以下条件:)(Lagrange)(xf(1) 在闭区间内连续)(xf],[ba(2) 在开区间上可导)(xf),(ba则 abafbffba)()()(),( 例例 2 2 若)()(1,011yxpyyxyxpypxypppp则 分析 因为则原不等式等价于 .令,0xy 11ppp ppxyxyxpy) 1(p,则我们容易联想到中值定理.ptxf)(Lagrangeyxyfxfyxf)()())(('证明证明 设,显然满足中值定理的条件pttf)(],[)(xytf在Lagrange则 即,)()()(),(yxyfxffxy yxyxppp p ＝1111,),(ppppxppyxyxy Q)()(11yxpyyxyxpypppp例例 3 3 设在上连续可导,且则)(xf],[ba, 0)()(bfafdxxfabxfbabxa )()(4)(max2'证明证明 设则由中值公式,当时,有)(max'xfM bxa),(bax3))(())(()()(11axfaxfafxf))(())(()()(22bxfbxfbfxf其中由此可得).,(),,(21bxxa)()()()(xbMxfaxMxf及所以4)()()()()()(22222abMdxxbMdxaxMdxxfdxxfdxxfbaabbababaabba即badxxfabM)()(42所以 dxxfabxfbabxa )()(4)(max2积分第二中值定理积分第二中值定理 若在区间上为非负的单调递减函数,而是可积函数,]1[f],[bafg则存在,使得],[baabagaffg)(例例 4 4 设,则时12sin)(xxdttxf0xxxf1)(特别地:当时机为年浙江省高等数学竞赛试题(工科、经管类)2003x2003证明证明 令,则由积分第二中值定理ut xudu xuduuxfxxx1sin 212sin)(2221＝又因为4  222222)1(2322)1(2322)1(cos 41) 1cos() 1(21cos21cos 21) 1(cos1 212sin)(xxxxxxuuduxxxxuudu xxuuuduuxf＝＝于是,时0xxxxxxduuxxxfxx1)1 11(21 ) 1(21 2141 ) 1(21 21)(22)1(23＝由上可见利用中值定理证明不等式,通常是首先构造辅助函数和考虑区间,辅助函数和 定义区间的选择要与题设和结论相联系,然后由中值定理写出不等式,从而进行证明.三、利用函数的单调性证明不等式三、利用函数的单调性证明不等式定理定理 1 如果函数满足以下条件:)(),(xgxf(1) 在闭区间内连续)(),(xgxf],[ba(2) 在开区间可导,且有(或))(),(xgxf),(ba)()(xgxf)()(xgxf(3) )()(agaf则 在内有(或),(ba)()(xgxf)()(xgxf令由于)()()(xgxfxF0)(0)()()()(xFxgxfxgxf所以证明证明则相应地有)()(xgxf0)(xF推论推论 1 若在上连续,在内可导,且(或))(xf],[ba),(bacaf)(0)('xf0)('xf则在内有(或).),(bacxf)(cxf)(例例 5 证明:当时,有1x).2ln(ln) 1(ln2xxx分析 只要把要证的不等式变形为,然后把相对固定看作常数,并) 1ln()2ln( ln) 1ln(  xx xxx选取辅助函数.则只要证明在是单调减函数即可.xxxfln) 1ln()()(xf), 0( 5证明证明 作辅助函数 xxxfln) 1ln()() 1( x于是有xxxxxxx xxx xxxf22ln) 1() 1ln() 1(ln ln) 1ln( 1ln)(因为 故, 11xx) 1ln(ln0xx所以 ) 1ln() 1(lnxxxx因而在内恒有,所以在区间内严格递减.），（10)('xf)(xf), 1 ( 又因为,可知xx11) 1()(xfxf即 ) 1ln()2ln( ln) 1ln(  xx xx所以 ).2ln(ln) 1(ln2xxx例例 6 证明不等式,其中.xxxx)1ln(22 0x分析 因为例 6 中不等式的不等号两边形式不一样,对它作差,则)2()1ln(2xxx发现作差以后不容易化简.如果对求导得,这样就能对它进行比较.)1ln(xx11证明证明 先证 )1ln(22 xxx设 )2()1ln()(2xxxxf)0( x则 00)01ln()0(fxxxxxf1111)(2 '即 0x Q0012xx ,即在上单调递增 01)(2 xxxf), 0( )(xf0)0()(fxf 62)1ln(2xxx 再证 xx  )1ln(令 xxxg)1ln()(则 0)0(g111)(xxg10xx１１Qxxxg)1ln(0)( xxxx)1ln(22定理 1 将可导函数的不等式的证明转化为的证明，但当)()(xgxf)()(xgxf与的大小不容易判定时，则有)(xf )(xg推论推论 2 设，在[]上阶可导，)(xf)(xgba,n（1） )()()()(agafkk1,2 , 1 , 0nkL（2） （或）)()()()(xgxfnn)()()()(xgxfnn则在（）内有 （或）ba,)()(xgxf)()(xgxf例例 7 证明: ，.3 31xxtgx)2, 0(x分析 两边函数类型不同,右边多项式次数较高,不易比较,对它求一阶导数得仍然不易比较,则我们自然就能想到推论 2..1)31( ,sec)(232xxxxtgx证明证明 设 tgxxf)(3 31)(xxxg则 （1）0)0()0( gf（2）1)0()0(),1 ()(),(sec)(22gfxxgxxf（3）1)0()0(,2)(,cossec2)(2    gfxxgxxxf7（4）2)(),31)(1 (2)(22    xgxtgxtgxf 显然有 )()(xgxf    由推论 2 得， （）.2 31xxtgx20 x利用函数的单调性证明不等式我们都是先构造函数.然后通过对函数求导,来判定函数 的增减性,从而达到证明不等式的目的. 四、利用四、利用 Jensen(Jensen(琴森琴森) )不等式证明不等式不等式证明不等式定义定义 如果内存在二阶导数则]1[),()(baxf在)(“xf(1) 若对则函数在内为凸函数.,.0)(),( xfbax有)(xf),(ba(2) 若对则函数在内为凹函数.,.0)(),( xfbax有)(xf),(ba若函数内是凸(或凹)函数时,对及,),()(baxf在),(,,,21baxxxnL nii 11有 Jensen(琴森)不等式   niniiiniiiiiniiixfxfxfxf1111)()( 或 等号当且仅当时成立.nxxxL21例例 8 8 证明下列不等式.), 2 , 1, 0(11121 2121nianaaaaaaaaaninn nnLLL L 分析 上式只要能证明,如), 2 , 1, 0(21 21nianaaaaaainn nLLL 果此题用前面所述的几种方法来证明显然不合适,因为对它求导后不等式会更复杂.而这里的可以看作是同一函数的多个不同函数值,设那么就可以用 Jensen 不等式来iaxxfln)(证明它.然后只要令,同理可得.xxf1ln)( n nnaaaaaanL L2121111 8证明证明 令)0(ln)(xxxf 因为 ,所以是凹函数01)(2 xxf), 0()(在xf则对有), 0(,,,21naaaL)()()(1)(12121nnafafafnaaanf LL即 nnaaanaaanlnlnln1)(1ln2121 LL又因为 nnnaaaaaanLL2121lnlnlnln1所以 naaaaaann nLL21 21令 , 则同理可得xxf1ln)( n nnaaaaaanL L2121111 所以), 2 , 1, 0(11121 2121nianaaaaaaaaaninn nnLLL L 例例 。