量子力学教程第三章课件 Ch3-2011.pdf

1第三章 简单定态问题第三章 简单定态问题一维无限深方势阱一维无限深方势阱一维有限深方势阱束缚态一维有限深方势阱束缚态一维定态问题的普遍性质一维定态问题的普遍性质势垒穿透和共振透射（自由态问题）势垒穿透和共振透射（自由态问题）一维谐振子一维谐振子一维周期势一维周期势2经典一维势场经典粒子H = E 即 ½mv2+V(x)=E束缚状态 xl -r的变换称为空间反射变换， 与该变换相应的物理量称为宇称此时，如果如果在空间反射下，),(),(trtrrr),(),(trtr称波函数具有正宇称（或偶宇称）；),(),(trtr 称波函数具有负宇称（或奇宇称）；),(),(trtr),(),(trtr则波函数没有确定的宇称17讨论一维无限深势阱中粒子的状态一维无限深势阱中粒子的状态,3 ,2, 18.||,2cos1;||,2sin1;||0222 nanEaxnxan aaxnxan aaxnn其能量本征值为：奇数偶数18（1）n = 1, 基态，与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的表现，因为“静止的波”是没有意义的。

（2）n = 0 , E = 0, ψ = 0，态不存在，无意义 所以n = ± k, k=1,2,...可见，n取负整数与正整数描写同一状态1）n = 1, 基态，与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的表现，因为“静止的波”是没有意义的 （2）n = 0 , E = 0, ψ = 0，态不存在，无意义 所以n = ± k, k=1,2,...可见，n取负整数与正整数描写同一状态  xakAxakAxakAxakAknkn2cos2cos2sin2sinaE 8221讨论19讨论（3）波函数宇称（3）波函数宇称（4）（4）ψψn*n*(x) = ψ(x) = ψn n(x)即波函数是实函数 （5）定态波函数(x)即波函数是实函数 （5）定态波函数偶宇称当奇宇称当)()()()()()(oddnxxevennxxnnnn .||,2cos1;||,2sin1;||0)(),(///axoddnxean aaxevennxean aaxextxtiEtiEtiE nnnnn20波函数的节点节点：空间部分波函数非端 点处的零点基态波函数无节点，与第N 个激发态的相应波函数有N 个节点对称势场中，基态恒为偶宇 称态，无节点。

注意定态波函数的（反）对 称性-aa21几率密度分布几率密度分布是对称的，而无反 对称大量子数条件下趋向经典情形有限深阱，阱外侧波函数不为零!-aaa-a22三维无限深方势阱盒内V=0，盒外V=微腔（半导体激光器），光子的盒子（金属）纳米颗粒，电子的盒子23三维无限深方势阱-II分离变 量x， y，z24三维无限深方势阱-IIInx，ny，nz分别为三维空间的三个自由度x， y，z所对应的量子数25能级谱和简并度26能级密度和态密度能级间隔En ，以一维深势阱为例：能级密度 d ，则En ，能级密度 单位能量间距（eV）内所容纳的能级数目态密度 单位能量间距（eV）内所容纳的量子态的数量 态密度 = 能级密度*简并度泡利不相容原理 描述多电子，多能级系统电子状态的“填充”规则2222112),12(2 dEadnmdEEEnnnn27一维有限深方势阱束缚态28求解过程（1）(a) 薛定谔方程化为标准型微分方程，各区域求出通解薛定谔方程化为标准型微分方程，各区域求出通解(b) 施加边界条件：束缚态波函数无穷远处为零，波函数及一阶导数连续施加边界条件：束缚态波函数无穷远处为零，波函数及一阶导数连续29求解关于A1，A2，B2，B3的四阶线性齐次方程组的非零解 -系数行列式=0，得到能量量子化条件 （6）或（7） 注意：两个条件不会同时满足 Homework:证明上述的能量量子化条件，并求出与该问题相应 的空间部分波函数（可含有一待定归一化常数）求解过程（2）)()( kakctgkaktg   含待定系含待定系30一维有限深方势阱能级)()(kakctgkaktg或者6731 2 3 /2 /2一维有限深方势阱能级-II能级的数量和本征值的大小决 定于交点的个数及和位置能级数目随着V0，a和m而增加 （）但无论势 阱多浅，多小，恒存在一个偶 宇称能量本征态 --- 基态r -时，即无限深势阱，存 在无限多个交点，如图虚线位 置 得到：/22 0amVr 220)2(22an mVEnkan32金属的方盒束缚模型金属中电子运动的最简化模 型a即为金属的尺度 d ，则En ，能级密度泡利不相容原理，每个能级 最多容纳两个不同自旋取向 的电子 ---〉0 K时最高被占据能级： 费米能级(Fermi Level) 金属功函数W W = V033一维定态问题的普遍性质一维定态问题中，属于某一能量本征值E 只有一个束缚 态，即一维束缚定态是非简并的。

如一维势场关于原点对称，则定态波函数具有确定的 宇称 (x)=(-x) 注意：一般定态波函数不局限于束缚态关于自由态和束缚态：如粒子能量EV () 或E>V ()，则粒 子处于自由态关于一维定态波函数的形状E>V(x)区域，(x)总是凹向轴的，典型曲线：正弦，余弦EV(x)区域，(x)总是凹向轴的，典型曲线：正弦，余弦E 定出反射，透射系数39反射与透射系数注意，J是矢量自由态本征能量E 可以是大于零 的任何值E >U0 时，R 0！ E 势阱，V0 -  V0，则 (2.8 -13&14) 仍适用注意，一般情形R 0，T 标准型非常系数微分方程，无简单通解先求渐近解（x-）波函数=渐近解与待定函数的积得到关于待定函数的微分方程待定函数再作级数展开求解级数展开系数间的递推关系波函数收敛性条件（波函数的有限性） 是本问题的唯一边界条件对渐近解的要求待定函数只能是有限项多项式利用收敛条件和递推关系得到量子化条 件和待定函数的多项式解利用归一化条件定出波函数的待定常数222 021)(21xUaxkUU44谐振子能量量子化等间隔 能级零点能测不准 原理的 要求45厄密多项式46一维谐振子定态波函数注意厄密多项式的奇偶性和定态波函数的宇称 Homework: 请给出一维谐振子能量最低三个态的波函数的具体形式，求第一激发 态几率最大的位置和波函数拐点位置。

该拐点位置有何物理意义？）2/1 2/12)()!2()()(...2 , 1 , 0)(),(2nNxHeNxnextxnnnxnntEinnn47几率密度分布谐振子能量最低4 个量子态的几率密 度分布图虚线为经典情形的 几率密度分布经典情形下，粒子 运动局限于一个区 间内，量子条件下 则仅当无限远处才 为零48几率密度分布（2）经典：基态，P(x=0)=1 激发态，P(x=0)=min，P(x=L/R)=max量子力学：基态，P(x=0)=max 激发态，P(x=0)=min，P(x=L/R)=max，大量子数下趋于经典谐振子基 态和高激 发态的几 率密度分 布图虚线为经 典情形的 几率密度 分布49三维谐振子50三维谐振子（分离变量）51三维谐振子（能级和波函数）52周期势场中的电子周期势场的形成 --- 晶体中的电子的势场周期势场中波函数的形式布洛赫（Bloch）函数平移对称性本征能级谱，能带，布里渊（Brillouin）区53周期势场的形成晶体（固体）--- 原子与晶格点阵，库仑相互作用形成天 然三维周期电势场，超晶格---人工一维周期势场54简化的一维周期势周期为aV(x+na)=V(x)55周期势场中的波函数 ---布洛赫（Bloch）波22222)()()()()()()()()()()()()()()()(2xnaxxVnaxVxeaxxunaxuxuexxVnaxVxkExxVdxd mkkkika kkkkikx kkk 周期势场中的波函数满足布洛赫（Bloch）定理势场与波函数的平移对称性56方程的求解---I57方程的求解---II由Bloch波的性质，得到相邻区域的波函数：58本征能级所满足的方程59能带，布里渊区考虑极限情形则有：得到（11-17）式f (a) ~a关系对应 了E ~k 曲线，k 称 为晶格动量k 可被划分为无穷多 个宽为2/a的区间， 各区间有相同的“能 带”。

称这些k值区间 为布里渊区简约布 里渊区：abVE,0, 1)(,bchacakabbsh)(60Homework of CH3请给出三维无限深势阱的定态能级及相应的定态 波函数量子力学教程: 2.3量子力学教程: 2.5量子力学教程: 2.7。