【教案】高考数学总复习教案平面向量的数量积及平面向量的应用举例.pdf

第四章平面向量与复数第3 课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例(对应学生用书(文)、(理)6567页)考情分析考点新知 理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直平面向量的数量积及其几何意义，数量积的性质及运算律，数量积的坐标表示. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题. 1. (必修 4P77练习第 2(1)题改编 )已知向量a 和向量 b 的夹角为135，|a| 2，|b| 3，则向量 a 和向量 b 的数量积ab_答案： 32 解析： a b|a| |b|cos135 23 22 32. 2. (必修 4P80练习第 3 题改编 )已知向量a、b 满足 |a| 1，|b| 4，且 ab 2，则 a 与 b 的夹角为 _答案：3解析：cosa，ba b|a|b|12，a，b3. 3. (必修 4P81习题 2.4 第 2 题改编 )已知向量a，b 满足 |a| 1，|b| 2，a 与 b 的夹角为60，则|a b| _答案：3 解析： |a b| （ab）2a2b22a b1222212cos603. 4. (必修 4P81习题 2.4 第 3(1)题改编 )已知两个单位向量e1、 e2 的夹角为3，若向量b1e12e2， b23e14e2，则 b1 b2_答案： 6 解析： b1e12e2，b23e14e2，则 b1b2(e12e2) (3e14e2)3e2 12e1e28e2 2.因为 e1， e2 为单位向量， e1，e23，所以 b1b23 212831 8 6. 5. (必修 4P84习题 4 改编 )若平面四边形ABCD满足 ABCD0， (ABAD) AC0，则该四边形一定是 _答案：菱形精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -解析： 四边形 ABCD满足 ABCD0 知其为平行四边形，(ABAD) AC0 即DBAC0 知该平行四边形的对角线互相垂直，从而该四边形一定是菱形1. 向量数量积的定义(1) 向量 a 与 b 的夹角(2) 已知两个非零向量a 和 b， 它们的夹角为 ， 我们把数量 |a|b|cos叫做 a 与 b 的数量积 (或内积 )，记作 ab，并规定零向量与任一向量的数量积为0. 2. 向量数量积的性质设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，是 a 与 b 的夹角，则(1) eaa e. (2) ab ab0(3) 当 a 与 b 同向时， ab|a|b|；当 a 与 b 反向时， a b |a|b|；特殊的， aa|a|2 或|a| a a. (4) cosa b|a|b|. (5) |a b| |a| |b|.3. 向量数量积的运算律(1) 交换律： abb a. (2) 分配律： (ab) ca c bc. (3) 数乘结合律： ( a) b (a b)a ( b)4. 平面向量数量积的坐标表示(1) 若非零向量a(x1，y1)， b(x2，y2)，则 a bx1x2y1y2.故 abx1x2y1y20. (2) 设 a(x，y)，则 |a| x2y2(3) 若向量 a(x1， y1)与向量 b(x2， y2)的夹角为 ， 则有 cosab|a|b|x1x2y1y2x2 1y2 1x2 2y2 2. 备课札记 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -题型 1向量平行与垂直的充分条件例 1已知平面向量a(1，x)，b(2x3， x)，xR. (1) 若 ab，求 x 的值；(2) 若 ab，求 |a b| 的值解： (1) 若 ab，则 a b(1，x) (2x 3， x)1(2x 3)x(x)0，整理得 x22x30，解得 x 1 或 x3. (2) 若 ab，则有 1( x)x(2x3)0，即 x(2x4)0，解得 x0 或 x 2. 当 x0 时， a(1，0)，b (3，0)，ab(2，0)，|a b| （ 2）202 2；当 x 2 时， a(1， 2)，b(1，2)，ab (2， 4)，|a b| 22（ 4）2 25. 综上，可知 |a b| 2 或 25. 变式训练已知向量a(1，2)， b(2，m)，x a(t21)b，y ka1tb，mR， k、t 为正实数(1) 若 ab，求 m 的值；(2) 若 ab，求 m 的值；(3) 当 m1 时，若 xy，求 k 的最小值解： (1) 因为 ab，所以 1 m2 (2)0，解得 m 4. (2) 因为 ab，所以 ab0，所以 1 (2)2m0，解得 m1. (3) 当 m1 时， ab0. 因为 xy，所以 xy0. 则 x y ka21tk（t2 1） a b(t1t)b20. 因为 t0，所以 kt1t2，当 t1 时取等号，即 k 的最小值为2. 题型 2向量的夹角与向量的模例 2已知 |a| 4，|b| 3，(2a3b)(2ab)61. (1) 求 a 与 b 的夹角 ；(2) 求|a b| ；(3) 若ABa，BCb，求 ABC的面积解： (1) (2a3b)(2ab)61，4|a|2 4a b3|b|2 61. 又|a| 4，|b| 3，64 4a b2761，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - -a b 6. cosab|a|b|64312. 又 0，23. (2) 可先平方转化为向量的数量积|a b|2 (ab)2 |a|2 2ab|b|2 422( 6)3213，|a b| 13. (3) AB与BC的夹角 23，ABC233. 又|AB| |a| 4，|BC| |b| 3，SABC12|AB|BC|sin ABC12433233. 备选变式（教师专享）已知非零向量a、b、c 满足 abc0 ，向量 a、b 的夹角为 120，且 |b| 2|a| ，则向量 a与 c 的夹角为 _答案： 90解析：由题意，得c a b，ac a2a b |a|2 |a|b|cos120 |a|2 12|a|b| |a|2 12|a| 2|a| |a|2 |a|2 0，所以 ac，即 a 与 c 的夹角为90. 题型 3平面向量与三角函数的交汇例 3在ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a， b，c，且 (2ac) BCBAcCA CB0. (1) 求角 B 的大小；(2) 若 b23，试求 ABCB的最小值解： (1) 因为 (2ac)BCBAcCACB0，所以 (2ac)accosBabccosC0，即(2a c)cosBbcosC 0，所以 (2sinAsinC)cosBsinBcosC 0，即 2sinAcosBsin(BC)0. 因为 sin(BC)sinA0，所以 cosB12，所以 B23. (2) 因为 b2 a2c22accos23，所以 12a2c2ac3ac ，即 ac4 ，所以 ABCBaccos2312ac 2，当且仅当a c2 时等号成立，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - -所以 ABCB的最小值为2. 备选变式（教师专享）(2013 山东卷 )设ABC的内角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ac6，b2，cosB79. (1) 求 a，c的值；(2) 求 sin(A B)的值解：(1) 由余弦定理b2a2c2 2accosB，得 b2(ac)22ac(1cosB)，又 ac6，b2，cosB79，所以 ac 9，解得 a 3，c3. (2) 在ABC中， sinB1cos2B429， 由正弦定理得sinAasinBb223，因为ac，所以 A 为锐角，所以cosA1sin2A13，因此 sin(AB)sinAcosBcosAsinB10227. 例 4(2013泰州市期末 )已知向量a (cos ，cos(10) )，b (sin(10) ，sin)，、 R. (1) 求|a|2 |b|2的值；(2) 若 ab，求 ；(3) 若 20，求证： ab. (1) 解：|a| cos2cos2（10 ） ，|b| sin2（ 10 ） sin2，|a|2 |b|2 2. (2) 解：ab，cossin(10) cos(10) sin0，sin(10) 0，sin100，10k，kZ，k10，kZ. (3) 证明： 20，cos sin cos(10) sin(10 ) cos 20sin 20cos2 20sin2 20cos 20sin 20sin 20 cos 200，a b. 备选变式（教师专享）(2013 陕西卷 )已知向量 a cosx，12，b(3sinx，cos2x)，xR, 设函数 f(x)a b. (1) 求 f (x)的最小正周期. (2) 求 f (x) 在 0，2上的最大值和最小值解：(1) f(x)a b cosx 3sinx12cos2x32sin2x12cos2x sin 2x6.最小正周期T22. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - -所以 f(x)sin 2x6，最小正周期为. (2) 当 x 0，2时，2x6 6，56， 由标准函数ysinx 在 6，56上的图象知，f(x)sin 2x6f6， f2 12，1 . 所以， f (x) 在0，2上的最大值和最小值分别为1，12. 探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时，首先要理解和把握其充要条件【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14 分 ) 设两个向量e1、e2 满足 |e1| 2，|e2| 1，e1、e2 的夹角为 60，若向量 2te17e2 与向量e1te2 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围学生错解：解： e1e2 |e1| |e2| cos60 21121， (2te17e2)(e1te2) 2te2 17te2 2(2t27)e1e2 8t7t2t27 2t215t7. 因为向量2te17e2 与向量 e1te2 的夹角为钝角，所以(2te17e2)(e1te2)0，即 2t215t 70，解得 7t12. 审题引导：当(2te17e2)(e1te2)0 时，其夹角一定为钝角吗？规范解答：解： e1 e2|e1| |e2| cos60 21121，(2 分) (2te17e2)(e1te2) 2te2 17te2 2(2t27)e1e2 8t7t2t27 2t215t7.(4 分) 因为向量2te17e2 与向量 e1te2 的夹角为钝角，所以(2te17e2)(e1te2)0，即 2t215t 70，解得 7t12.(9 分) 当向量 2te17e2 与向量 e1te2 反向时，设 2te17e2(e 1 te2)， 0，则2t ，t72t27t142或 t142(舍)(12 分) 故 t 的取值范围为7，142 142，12.(14 分) 错因分析：向量 2te17e2 与向量 e1te2 的夹角为钝角，可得(2te17e2)(e1te2)0，但由(2te17e2) (e1te2)0，并不能推出向量2te17e2 与向量 e1te2 的夹角为钝角如t142时， (2te17e2)(e1te2)0，向量2te17e2 与向量e1 te2 的夹角为 ，所以 (2te17e2)(e1te2)0 仅是向量2te17e2 与向量 e1te2 的夹角为钝角的必要条件，而不是充分精品学习资料 可选择p d f。