正交矩阵及其应用.doc

毕业论文正交矩阵及其应用正交矩阵及其应用The orthogonal matrix and its applicalion摘要正交矩阵是数学研究中的一类重要的工具，它的应用非常广泛.本文从以下主要例举了正 交矩阵的三大应用：正交矩阵性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中的应 用、正交矩阵在物理中的应用.关键词：矩阵；正交矩阵；标准正交基；集合；特征根；行列式IAbstractOrthogonal matrix is the mathematical study of an important class of tools, it is widely used. This article cites the following main four orthogonal matrix applications :orthogonal matrix in linear algebra, Orthogonal matrix topology and Modem Algebra, orthogonal matrix the applicat ion of physics.Keywords: matrix; orthogonal matrix; orthonormal basis; a collection of eigenvalues; determinantII目录摘要 IAbstract II0引言 11正交矩阵的定义及其简单性质 11.1正交矩阵的定义及其判定 11.2正交矩阵的性质 12正交矩阵的应用 22.1正交矩阵性代数中的应用 22.2正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用 82.3正交矩阵在物理中的作用 11参考文献 150引言正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊性质，使得它在不同的领域都有着广泛 的应用，也推动了其它学科的发展.木文从正交矩阵的定义以及其性质入手，来探讨它的 四大应用即：正交矩阵性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用、正交 矩阵在物理中的应用.1正交矩阵的定义及其简单性质1. 1正交矩阵的的定义及其判定定义1.1 [1] n阶实矩阵A,若满足AA E,则称A为正交矩阵.判定1 A为正交矩阵A A 1.l,i j,判定 2 A 为正交矩阵 i j i, j 1,2, ,n. 0, i j,1, i j,判定 3 A 为正交矩阵 i i j 0, i j, j1.2正交矩阵的性质设A为正交矩阵，它有如下性质：性质1[5] A 1, A 1存在，并且A 1也为正交矩阵；性质2[5] A,A*也是正交矩阵；当A 1时，A A*,即ai j Aij;当A 1时.A A*,即 aij Aij.性质3[5]若B也是正交矩阵,则AB, AB, ABA IB, AB 1都为正交矩阵.证明性质1显然A 1, A A A 1所以A 1也是正交矩阵.’1 1性质2 A A 1,显然A为正交矩阵.第1页，共15页A*由 A 1,A A , A 1当 A 1 时，A A*,即 ai j Ai j;当 A 1 时，A A*,即 ai j Ai j;所以A*为正交矩阵.性质3由A A 1,B B 1可知AB BA B 1A 1 AB , 1故AB为正交矩阵.由性质1,性质2推知AB,AB,A IB, AB 1均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1,且属于不同特征值的特 征向量相互正交；如果是它的特征值，那么阵可以对角化，即存在复可逆矩阵T,使1 T A T 1 2 1也是它的特征值，另外正交矩其中1,..., n为A的全部特征值，即i 1 i .这些性质这里就不再证明了.2正交矩阵的应用2.1正交矩阵性代数中的应用在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为Givens矩阵.这里，我们将利用正交 矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧空间的一组基为标准正交基的另一种 方法.wi 设向量 W wl, w2 wn ，令 s wi2 w2・ ・ ・ ,J J 1 ,C,d wj,则称n阶矩阵第2页，共15页1 c d i 行 Ti j d c j 行1i列j列为初等旋转矩阵.初等旋转矩阵Tij,是由向量W的第i, j两个元素定义的，与单位矩阵只在第i, j行和第 i, j列相应的四个元素上有差别.设Tij是由向量W定义的初等旋转矩阵j i ，则有如下的性质：<1> Tij是正交矩阵；<2> 设 TijW ul,u2, ,un ,则有’ui s, uj 0, uk wk k i, j ;<3>用Tij左乘任一矩阵A,TijA只改变A的第i行和j行元素（用Tij右乘任一矩阵A, ATij只改变A的第i列和j列元素）・证明 <1> c d22 w 2i w2.Js2 1,故Ttijij E, Tij是正交矩阵.<2>由Tij得定义知，用Tij左乘向量W,只改变W的第i, j两个元素，且2wi2wjui cwi dwj sss wjwiwiwjuj dwi cwj Oss所以Tij左乘W,使TijW的第i个分量非负，第j个分量为。

其余分量不变.<3>根据<2>及矩阵乘法即可以得出结论.引理2. 1.1 [7]任何n阶实非奇异矩阵A aij n n,可通过左连乘初等旋转矩阵化为第3页，共15页上三角矩阵，且其对角线元素除最后一-个外都是正的.定理2. 1. 1 [7]设P是n阶正交矩阵<1>若P 1,则P可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积，即P P1P2 Pr;<2>若P 1,则P可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵E n,即P P,2, r）是初等旋转矩阵.i（i 11P2 PrE n,其中Pn nE n证明由于P是n阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋转矩阵S1,S2, Sr使SrSr 1 S2S1P R这里R是n阶上三角阵，而且R得对角线上的元素除最后一个外都是 正的，所以有P S1S2 Sr R (2. 1)由P是正交矩阵和(2. 1)式得P P R SrSIST SrR E 即RR(2.2)rl 1设R ♦ ♦ 11rl2r22rnnr2n其中，r 0 i1,2 n 1 ，则r22r2nrllrnnrnnrllrl2r22 rln rR R 121rlnr2n由上式得 第4页，共15页1 ri jn 且 i, j 1, 2 , nIP IP所以E,当 P 1R (2.3)E,当P1 -n于是由(2. 1)(2. 3)式得> 当 P 1 时，P SrS2 Sr;<2> 当 P 1 时，P S1S2 SrE n.记Pi Si i 1,2, , r , Pi是初等旋转矩阵，故定理1结论成立.引理2. 1.2[7]设入aij n m,秩A m,则A可以通过左连乘初等旋转矩阵，把R A变为 。

的形式，其中R是5阶上三角阵，是n m 田矩阵.R1证明由引理2知A P 又根0 ，其中P是n阶正交矩阵，R1是in阶上三角阵，据定理1知:Pl Pr,P IP 其中 Pi i1,2, r P PE,P Ir n 1是初等旋转矩阵.R1 R <1> 当 PR Rl,Pr P1A 1P2 Pr1时，A P令0 0R1 ＜2＞ 当 P 1 时，A PP PE12r n 0 于是有R1 R P PA E n 0 0 r1显然，R是ni阶上三的阵，当n e时R与R1除最后一•行对应元素绝对值相等、符号相反 外，其余元素对应相等.当n in时,R R1,所以由＜1＞、＜2〉知木定理的结论成立.第5页，共15页al 1 al2 alma21 a22 a2m,, 设 1 ,2ma a anl n2 nm是欧式空间Rn的子空InJVm的一组基，记allaA 1 2 m 21a nlal2a22 an2almanm是秩为ni的n rn矩阵.若 A ai jn m满足定理2的条件，则存在初等旋转矩阵P1P2 Pr使RPr PlA (2.4)，，y且 E PP P1,P2, ,Pr Pr, , P2, Pl 所以，，，，，PrPr 1 P2P1E Pr P2P1 P (2.5)R由(2.4)、(2.5)两式知，对A、E做同样的旋转变换，在把A化为 。

的同时， 就将E化成了 P,而P的前m个列向量属于子空间Vm.综上所述可得化欧式空间的子空间Vm的一组基：1, 2, m i ali, a2i, , ani ，, i 1,2, , m为一-组标准正交基德方法为:<1>由已知基1, 2, m为列向量构成矩阵A aijR<2>对矩阵A E施行初等旋转变换，化A为 0 ,同时E就被化为正交矩阵P,这里R是ni阶上三角阵；<3>取P的前ni个列向量便可得Vni的一组标准正交基.显然，上述方法是求子空间Vm的 —•组标准正交基的另-种方法.下面，我们通过实例说明此方法的应用.第6页，共15页例 2. 1.1 求以向量 1 1,1,0,0 , 2 1,0, 1,0 , 3 1,0,0, 1 为基的向量空间V3的-•组标准正交基.解矩阵1 1 1 100A 1 2 3 010001对分块矩阵A E依次左乘T12,T23,T34,其中22T122 0 0 222 2000 10 1 0 0 ,T2320 0 301 0231300 100 , T 34 00 0 110010020 2 1 2得T34T23T12 A E则200012200 121121610321231 266231323102231 20 0 2I2 1 6P1212取1 21102121 2 21 20210 2 ,P 021 0216162012121221第7页，共15页1 1Pl ,P26, P3 123231 23则P的V3的•组标准正交基.1,P2,P3就是由1,2, 3得到2.2正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用全体n阶正交矩阵作成的集合，记为0 n ，从代数和拓扑的角度来看，我们可以证明它 构成一拓扑群，并且进一步证明它是不连通的紧致l ie群.(1) 0 n构成拓扑群在证明0 n构成拓扑群之前，先介绍一下相关的概念.定义2.2. 1 [3]设G是任一集合，R是G的子集构成的子集族，且满足:1、结合G与空集属于R;2、 R中任意个集的并集属于R;3、 R中任意有穷个集的交集属于R;称R是G上的一•个拓扑，集合G上定义了拓扑R,称G是一个拓扑空间.定义2. 2. 2 [3]如果G是一个拓扑空间，兵赋予群的机构，使得群的乘法运算u: G G G;求逆运算v: G G;是连续映射，就称G为拓扑群.根据上面的定义，我们分三步来实现证明。