湖南省衡阳市 县杉桥中学2020-2021学年高三数学文上学期期末试题含解析.docx

湖南省衡阳市 县杉桥中学2020-2021学年高三数学文上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，则A．           B．           C．          D．参考答案：C2. 已知集合，集合，则（    ）A．{1,π}         B．{0,1}       C．{0,π}       D．{1}参考答案：B3. 函数的零点个数为 A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B由得，在同一坐标系中做出函数的图象，由图象可知两函数的交点有1个，即函数的零点个数为1，选B.4. 抛物线的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，又点A，则的取值范围是（   ）A.    B.      C.    D.参考答案：A略5. 命题：“若f(x)是奇函数，则f（-x）是奇函数”的否命题是    （    ）A 若f(x)是偶函数，则f（-x）是偶函数     B 若f(x)不是奇函数，则f（-x）不是奇函数C 若f(-x)是奇函数，则f（x）是奇函数     D 若f(-x)不是奇函数，则f（x）不是奇函数参考答案：B6. 设a为正实数，则“a≥1”是“”的(     )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】定义法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】根据基本不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若a为正实数，则恒成立，当且仅当a=，即a=1时，取等号，故则“a≥1”是“”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解决本题的关键．7. 已知函数在点（2，f（2））处的切线为由y=2x-1，则函数在点（2，g（2））处的的切线方程为              。

参考答案：略8. 已知函数在（，0]是单调函数，则的图象不可能是参考答案：B略9. 在中，点在边上，且，，则= （  ）A．           B．           C．            D．参考答案：D10. 设函数,若不等式有解，则实数的最小值为（    ）A．  B．  C．  D．参考答案：D考点：不等式有解，导数的综合应用．【名师点睛】本题考查不等式有解问题，要注意不等式有解和不等式恒成立的区别与联系，解题时都可以采取分离参数法，此题不等式可变形为，令，有解，等价于的最小值，而恒成立，等价于的最大值．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数在区间［0，］上的零点个数为（    ）A．1个           B．2个            C．3个            D．4个参考答案：B12. 若，则tan的值是       参考答案：２略13. 若函数在内有极小值，则实数的取值范围是_____________．参考答案：14. 函数的图象如图所示，则的值等于             参考答案：由图知，，，所以周期，又，所以，所以，即，所以，所以，又，所以.15. （5分）对a，b∈R，记，函数的最大值为　　参考答案：1考点： 函数零点的判定定理．分析： 先去掉函数中的绝对值，然后表示出函数f（x）的解析式，最后求函数的最大值即可．解答： 解：由题意知=∴当x＜﹣2时，f（x）=x+1＜﹣1当﹣2≤x≤2时，﹣1≤f（x）≤1当x＞2时，f（x）=3﹣x＜1综上所述，函数f（x）的最大值为1故答案为：1点评： 本题主要考查函数函数最值问题．含绝对值的函数要去掉绝对值考虑问题．16. 已知复数z1=1+i，z2=1﹣i，若z=，则|z|=　　．参考答案：1【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z=====i，则|z|=1．故答案为：1．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．17. 已知椭圆的离心率为,过椭圆上一点作直线分别交椭圆于两点,且斜率为,若点 关于原点对称,则的值为________.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分15分）设数列的前项和为，且，．（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足：，试证明：当时，必有     ①；  ②．参考答案：【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案解析】（1）（2）（3）略（1）由分别代入递推式即可得 （2）因为，所以即， 所以 ， 3）①由（2）得所以是正项单调递增数列                       当时，        所以，即②由①得，当时，，，…… ，所以 即  所以 所以， 即 又当，  故当时，思路点拨】用代入法求出，根据等比数列求出通项公式，利用求和比较证明 19. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立直角坐标系.（I）求曲线的极坐标方程；（II）过点作斜率为1直线与曲线交于，两点，试求的值.参考答案：（I）由得，∴即：圆的极坐标方程为.（II）设直线的参数方程为（为参数），，两点对应的参数分别为，，直线:（为参数）和圆的方程联立得：，所以，所以，20. (本小题满分12分)  以椭圆c：=1(a>b>0)的中心0为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．  已知椭圆C的离心率为，且过点．  (1)求椭圆C及其“伴随”的方程；  (2)过点P(0，m)作“伴随”的切线交椭圆C于A，B两点，记△AOB(O为坐标原点)的面    积为，求的最大值．参考答案：（1）x2+y2=1 (2)1【知识点】椭圆及其几何性质H5（1）椭圆C的离心率为，即c=a，由c2=a2-b2，则a=2b，设椭圆C的方程为∵椭圆C过点(，)∴∴b=1，a=2，以为半径即以1为半径，∴椭圆C的标准方程为+x2=1，椭圆C的“伴随”方程为x2+y2=1．（2）由题意知，|m|≥1．易知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y=kx+m，由得(+4)+2k mx+m2-4=0，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=．又由l与圆x2+y2=1相切，所以=1，k2=m2-1．所以|AB|==，则S△AOB=|AB|=，|m|≥1．S△AOB=≤1（当且仅当m=±时取等号）所以当m=±时，S△AOB的最大值为1．【思路点拨】（1）由椭圆C的离心率，结合a，b，c的关系，得到a=2b，设椭圆方程，再代入点(，)，即可得到椭圆方程和“伴随”的方程；（2）设切线l的方程为y=kx+m，联立椭圆方程，消去y得到x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到AB的长，由l与圆x2+y2=1相切，得到k，m的关系式，求出三角形ABC的面积，运用基本不等式即可得到最大值．21. 如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B//平面ADC1．参考答案：证明：（1）因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．       因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，ADì平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1．                                  …………………5分因为DC1ì平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．                   …………………7分（2）(证法一)连结A1C，交AC1于点O，连结OD， 则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD//A1B．                     …………………11分因为OD(平面ADC1，A1B(平面ADC1， 所以A1B//平面ADC1．                                   …………………14分(证法二)取B1C1的中点D1，连结A1D1，D1D，D1B．则D1C1,\d\fo(＝BD．所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B// C1D．因为C1D(平面ADC1，D1B(平面ADC1，所以D1B//平面ADC1．同理可证A1D1//平面ADC1．因为A1D1(平面A1BD1，D1B(平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1，所以平面A1BD1//平面ADC1．                          …………………11分因为A1B(平面A1BD1，所以A1B//平面ADC1．           …………………14分22. 函数，，.（1）设，假设在上递减，求a的取值范围；（2）假设，求证：.（3）是否存在实数a，使得恒成立，假设存在，求出a的取值范围，假设不存在，请说明理由.参考答案：（1）；（2）见解析；（3）存在实数【分析】（1）由在递减，得在恒成立， ，即可得到本题答案；（2）要证明时，，只需证明当，，算出的最小值和的最大值，即可得到本题答案；（3）分和考虑的最小值，即可得到本题答案.【详解】（1），，由在递减，得在恒成立，所以，即，而，当且仅当时，等号成立，因此，即的取值范围是；（2）要证明时，，只需证明当，，当时，，，令，得当时，，递减， 当时，，递增，因此，，令，解得当时，递增，当时，递减，因此，而，，因此成立，即时，；（3），，①当时，，在上递减，因此假设恒成立，那么，即，与矛盾；②当时，令，得.1.当时，即，当时，递减，当时，递增，因此，当时，取到唯一的极值，又是极小值，因此.假设恒成立，即，解得2.当时，即，当时，递减，因此，假设恒成立，那么，即，与矛盾.综上，存在实数，使得恒成立.【点睛】本题主要考查已知函数在某区间的单调性求参数的取值范围，以及导数与不等式的综合问题.。