第二章 圆锥曲线与方程能力检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)1．抛物线y2＝8x的准线方程是( )A．x＝2 B．x＝－2C．y＝2 D．y＝－2【答案】B 【解析】抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－＝－2.故选B．2．(2018年新课标Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( )A．y＝±x B．y＝±xC．y＝±x D．y＝±x【答案】A 【解析】∵e＝＝，∴＝＝3，即＝2.∴＝±.∴渐近线方程为y＝±x.3．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－＝1的右焦点重合，则p的值为( )A．－2 B．2C．－4 D．4【答案】D 【解析】双曲线－＝1的右焦点为(2,0)，即抛物线y2＝2px的焦点为(2,0)，∴＝2，p＝4.故选D． 4．(2019年山东济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使点M与点F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线【答案】B 【解析】由条件知|PM|＝|PF|，∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|>|OF|.∴点P的轨迹是以点O，F为焦点的椭圆．5．(2019年江西赣州期末)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的点M的坐标为( )A．(0,0) B．C．(1，) D．(2,2)【答案】D 【解析】过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．6．椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)和圆x2＋y2＝2有四个交点．其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率范围是( )A．0，b>0)的离心率e∈[，2]，令双曲线两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角为θ，则此角的取值范围是( )A． B．C． D．【答案】C 【解析】＝∈，∴∈.∴θ∈.8．双曲线－＝1与椭圆＋＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形一定是( )A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】C 【解析】设双曲线的离心率为e1，椭圆的离心率为e2，则e＝，e＝，由已知得ee＝1，即·＝1，化简，得a2＋b2＝m2.9．(2019年云南昆明模拟)已知F1，F2是双曲线M：－＝1的焦点，y＝x是双曲线M的一条渐近线，离心率等于的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，则|PF1|·|PF2|等于( )A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B 【解析】由题意易得双曲线的方程为－＝1，椭圆的方程为＋＝1，不妨设|PF1|＞|PF2|，可得⇒⇒|PF1|·|PF2|＝12.10．(2019年江西南昌模拟)已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F且斜率为的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则△MFN的面积等于( )A． B． C． D．【答案】C 【解析】设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则S△MFN＝×p×|y1－y2|＝×2×|y1－y2|＝|y1－y2|.直线方程是y＝(x－1)，与抛物线方程联立，化简得y2－4y－4＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝＝＝.故选C．11．如图，已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2＋y2＝b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为( )A． B．C． D．【答案】D 【解析】如图，连接OQ，PF1.∵点Q为线段PF2的中点，∴OQ∥PF1，|OQ|＝|PF1|，∴|PF1|＝2|OQ|＝2b.由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，则|PF2|＝2a－2b.∵线段PF2与圆x2＋y2＝b2相切于点Q，∴OQ⊥PF2，∴PF1⊥PF2.又|F1F2|＝2c，∴(2b)2＋(2a－2b)2＝(2c)2.化简，得3b＝2a.∴5a2＝9c2，则e＝＝.故选D．12．(2019年河北武邑中学月考)如图，已知椭圆C1：＋y2＝1，曲线C2：y＝x2－1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，则·的值是( )A．正数 B．0C．负数 D．都有可能【答案】B 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，－1)，＝(x1，y1＋1)，＝(x2，y2＋1)．设直线l的方程为y＝kx，联立整理为x2－kx－1＝0，∴x1＋x2＝k，x1x2＝－1，·＝·＝x1x2＋(y1＋1)(y2＋1)＝x1x2＋y1y2＋(y1＋y2)＋1＝x1x2＋k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－1－k2＋k2＋1＝0.故选B．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13．(2019年广西贵港期末)若以F1(－，0)，F2(，0)为焦点的双曲线过点(2,1)，则该双曲线的标准方程为________________．【答案】－y2＝1 【解析】设双曲线方程是－＝1(a>0，b>0)，则有解得a2＝2，b2＝1.∴该双曲线的标准方程是－y2＝1.14．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为________________．【答案】y2＝8x 【解析】由抛物线定义知点P的轨迹是以点F(2,0)为焦点的抛物线，p＝4，∴其方程为y2＝8x.15．(2019年浙江杭州模拟)我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)．如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a＋b的值为________．【答案】＋1 【解析】∵|OF2|＝＝，|OF0|＝c＝|OF2|＝，∴b＝1.∴a2＝b2＋c2＝1＋＝，得a＝.∴a＋b＝＋1.16．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．【答案】 【解析】易知抛物线中p＝，焦点F.又直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝.代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象可得点O到直线AB的距离d＝sin 30°＝，故△OAB的面积S＝|AB|·d＝.三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17．(10分)已知点A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，求动点C的轨迹方程．解：∵AB＝＝5，∴AB边上高h＝＝4.故点C的轨迹是与直线AB之间距离等于4的两条平行线．∵kAB＝，∴AB的方程为4x－3y＋4＝0.∴可设轨迹方程为4x－3y＋c＝0.由＝4得c＝24或c＝－16.故动点C的轨迹方程为4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.18．(12分)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y＝2x－1截得的弦长为，求抛物线方程．解：设直线与抛物线的两交点为A(x1，y1)，B(x2y2)．联立方程，得消去y，得4x2－(4＋a)x＋1＝0.∴x1x2＝，x1＋x2＝.则|AB|＝·|x1－x2|＝·＝·＝.解得a＝－12或a＝4.∴抛物线方程为y2＝－12x或y2＝4x.19．(12分)双曲线C过点(2，)且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线．(1)求双曲线C的标准方程；(2)求直线y＝x＋1被双曲线C截得的弦长．解：(1)由公共渐近线可设C的方程为－y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线C过点(2，)，∴λ＝－()2＝－4.∴双曲线C的方程为－y2＝－4，即－＝1.(2)由消去y，可得3x2＋8x－12＝0.则Δ>0.设直线与双曲线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－4.∴所求弦长为·＝.20．(12分)若抛物线y＝－x2－2x＋m和直线y＝2x相交于不同的两点A，B．(1)求实数m的取值范围；(2)求|AB|；(3)求线段AB的中点坐标．解：联立方程，得消去y得x2＋4x－m＝0.(1)∵直线与抛物线有两个相异交点，∴Δ>0，即42－4(－m)>0.∴m>－4.(2)当m>－4时，方程x2＋4x－m＝0有两个相异实根，设为x1，x2，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－4，x1·x2＝－m.∴|AB|＝|x1－x2|＝＝2.(3)设线段AB的中点坐标为(x，y)，则x＝＝＝－2，y＝＝＝－4.∴线段AB的中点坐标为(－2，－4)．21．(12分)(2019年山东烟台模拟)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若＝2，求直线l的方程．解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．∵c＝1，＝，∴a＝2，b＝.∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1.联立化简，得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，得x1＝－2x2.又∴消去x2，得2＝.解得k＝±.∴直线l的方程为y＝±x＋1.22．(12分)(2018年云南十一校调研)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在椭圆E上，且△ABC面积的最大值为2.(1)求椭圆E的方程；(2)设点F为椭圆E的左焦点，点D在直线x＝－4上，过点F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．求证：直线OD平分线段MN.(1)解：由题意得解得故椭圆E的方程为＋＝1.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(－4，n)．线段MN的中点P(x0，y0)，则2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2.由(1)可得点F(－1,0)，则直线DF的斜率为kDF＝＝－.当n＝0时，直线MN的斜率不存在，由椭圆的对称性可知OD平分线段MN.当n≠0时，直线MN的斜率kMN＝＝.∵点M，N在椭圆E上，∴整理，得＋＝0.又2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，∴＝－，即直线OP的斜率为kOP＝－.∵直线OD的斜率为kOD＝－，∴直线OD平分线段MN.。
