常微分方程期末复习提纲ppt课件.ppt

第一章：绪论第一章：绪论定定义义1:1: 联联系系自自变变量量、、未未知知函函数数及及未未知知函函数数导导数数（（或或微微分）的关系式称分）的关系式称为为微分方程微分方程. 一、常微分方程与偏微分方程一、常微分方程与偏微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程常微分方程. 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程偏微分方程.二、微分方程的阶二、微分方程的阶定定义义2 ：：微微分分方方程程中中出出现现的的未未知知函函数数的的最最高高阶阶导导数数或或微分的微分的阶数称数称为为微分方程的微分方程的阶阶数数. . n阶微分方程的一般形式为三 线性和非线性1.如果方程不是线性方程的方程称为非线性方程2.n阶线性微分方程的一般形式四 微分方程的解定义31 显式解与隐式解相应定义4所定义的解为方程的一个显式解.隐式解.注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.2 特解与通解定义5 如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.n阶微分方程通解的一般形式为定义4：在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解.注1:3 定解条件 为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.求满足定解条件的求解问题称为定解问题. 常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题.五 积分曲线和方向场1 积分曲线一阶微分方程称为微分方程的积分曲线.2 方向场在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.所规定的方向场.第二章 一阶微分方程的初等解法 定义1形如方程,称为变量分离方程.§2.1 变量分离方程与变量变换变量分离方程与变量变换一、变量分离方程的求解一、变量分离方程的求解这样变量就“分离”开了.二、可化二、可化为变量分离方程量分离方程类型型（（I））齐次方程次方程 (I) 形如方程称为齐次方程,求解方法:(II) 形如的方程可经过变量变换化为变量分离方程.分三种情况讨论为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.这就是变量分离方程作变量代换(坐标变换)则方程化为为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.解的步骤:注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.此外,诸如§2.2 线性方程与常数性方程与常数变易法易法一阶线性微分方程一 一阶线性微分方程的解法-----常数变易法代入(1)得积分得注 求(1)的通解可直接用公式(3)形如的方程,称为伯努利方程.解法:§2.3 恰当方程与恰当方程与积分因子分因子 一、恰当方程的定义及条件一、恰当方程的定义及条件如果我们恰好碰见了方程就可以马上写出它的隐式解定义1则称微分方程是恰当方程.如是恰当方程.1 恰当方程的定义需考虑的问题(1) 方程(1)是否为恰当方程?(2) 若(1)是恰当方程,怎样求解?(3) 若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?2 方程为恰当方程的充要条件定理1为恰当方程的充要条件是二、恰当方程的求解二、恰当方程的求解1 不定积分法2 分组凑微法 采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.---应熟记一些简单二元函数的全微分.如三、积分因子三、积分因子非恰当方程如何求解?对变量分离方程:不是恰当方程.是恰当方程.对一阶线性方程:不是恰当方程.则是恰当方程.可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.1 定义2 积分因子的确定变成即此时求得积分因子3 定理微分方程§2.4 一一阶隐方程与参数表示方程与参数表示 一阶隐式方程求解—采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型.主要研究以下四种类型1 形如方程的解法,(I) 若求得(4)的通解形式为将它代入(3),即得原方程(2)的通解(II) 若求得(4)的通解形式为则得(2)的参数形式的通解为(III) 若求得(4)的通解形式为则得(2)的参数形式的通解为2 形如方程的解法,若求得(10)的通解形式为则得(9)的参数形式的通解为1 形如方程的解法,即满足:两边积分得于是得到原方程参数形式的通解为解的步骤:“关键一步也是最困难一步”2 形如方程的解法,解的步骤:“关键一步也是最困难一步”第三章第三章 一阶微分方程的解的存在定理一阶微分方程的解的存在定理§3.1 解的存在唯一性定理与逐解的存在唯一性定理与逐步逼近法步逼近法一 存在唯一性定理1 定理1 考虑初值问题命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程命题2命题3命题4命题5二 近似计算和误差估计求方程近似解的方法---Picard逐步逼近法,这里例1 讨论初值问题解的存在唯一区间,并求在此区间上与真正解的误差不超解由于由(3.19)§3.2 解的延拓解的延拓1 饱和解及饱和区间定义12 局部李普希茨(Lipschitz)条件定义23 解的延拓定理定理:§3.3 解解对初初值的的连续性和可微性定理性和可微性定理一一 解对初值的连续性解对初值的连续性定义设初值问题1.解对初值的连续依赖性初值问题引理引理引理引理 如果函数如果函数如果函数如果函数 于某域于某域于某域于某域D D内内内内连续连续，且，且，且，且关于关于 y 满足利普满足利普希茨条件希茨条件（利普希茨常数为（利普希茨常数为（利普希茨常数为（利普希茨常数为L L），），），），则对方程则对方程则对方程则对方程 的任的任的任的任意两个解意两个解意两个解意两个解 及及及及 , , , ,在它们的公共存在区间内成立着不在它们的公共存在区间内成立着不在它们的公共存在区间内成立着不在它们的公共存在区间内成立着不等式等式等式等式 . . . .其中其中其中其中 为所考虑为所考虑为所考虑为所考虑区间内的某一值。

区间内的某一值区间内的某一值区间内的某一值2 2 2 2 定理定理定理定理1 (1 (1 (1 (解对初值的连续依赖性定理解对初值的连续依赖性定理解对初值的连续依赖性定理解对初值的连续依赖性定理) ) ) )条件条件条件条件: : : : I.I.I.I. 在在在在G G内连续且关于内连续且关于内连续且关于内连续且关于 满足局部利普希茨满足局部利普希茨满足局部利普希茨满足局部利普希茨条件条件条件条件; ; ; ; II. II. II. II. 是是是是(1)(1)(1)(1)满足满足满足满足 的解的解的解的解, , , ,定义定义定义定义 区间为区间为区间为区间为[ [ [ [a,ba,b].].].].结论结论结论结论: : : : 对对对对 , , , , 使得当使得当使得当使得当时时时时, ,方程方程方程方程(1)(1)(1)(1)过点过点过点过点 的解的解的解的解 在在在在[ [a,ba,b] ]上也有上也有上也有上也有定义定义定义定义, ,且且且且 方程方程方程方程根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性, ,显然有显然有显然有显然有: :3 3 3 3 定理定理定理定理2 2 2 2 ( ( ( (解对初值的连续性定理解对初值的连续性定理解对初值的连续性定理解对初值的连续性定理) ) ) )条件条件条件条件: : : : 在在在在G G内连续且关于内连续且关于内连续且关于内连续且关于 满足局部满足局部满足局部满足局部L L L Lipsipsipsips. . . .条件条件条件条件; ; ; ;方程方程方程方程结论结论结论结论: : : :在它的存在范围内是连续的在它的存在范围内是连续的在它的存在范围内是连续的在它的存在范围内是连续的. . . ., , , ,作为作为作为作为 的函数的函数的函数的函数二二 解对初值的可微性解对初值的可微性1 1 1 1 解对初值和参数的连续依赖定理解对初值和参数的连续依赖定理解对初值和参数的连续依赖定理解对初值和参数的连续依赖定理2 2 2 2 解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理3 3 3 3 解对初值可微性定理解对初值可微性定理解对初值可微性定理解对初值可微性定理。