2022年不等式典型题目归纳 2.docx

精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -精品文档教学内容：第三章：不等式1、 a b 0a b ； a b 0a b ； a b 0a b ．比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等；2、不等式的性质： ① a b b a ；② a b, b c a c ；③ a b a c b c ；④ a b, c 0ac bc ，a b, c 0ac bc ；⑤a b, c d a c b d ；⑥ a b0, c d 0ac bd ；⑦ a b 0an bn n, n 1 ；⑧ a b 0n a n b n, n 1 ．3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式．4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式b2 4 ac 0 0 0二次函数y ax2bx ca 0 的图象有两个相异实数根2有两个相等实数根一元二次方程ax bx c 0 x b没有实数根a 0 的根ax2abx c 001,22ax1 x2x x x1或x x2bx1 x22ax x b R一元二次不等式的解集ax2abx c 00x x12ax x25、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是 1的不等式．6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．7、二元一次不等式 （组）的解集：满意二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对x, y ，全部这样的有序数对x, y 构成的集合．8、在平面直角坐标系中，已知直线x y C0 ，坐标平面内的点x0 , y0 ．①如0，x0y0C0 ，就点x0 , y0在直线xyC0 的上方．②如0，x0y0C0 ，就点x0 , y0在直线xyC0 的下方．精品文档精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -精品文档9、在平面直角坐标系中，已知直线x y C 0 ．①如 0 ，就x y C0 表示直线x y C0 上方的区域；x y C 0 表示直线x y C0 下方的区域．②如 0 ，就x y C0 表示直线x y C0 下方的区域；x y C 0 表示直线x y C0 上方的区域．10、线性约束条件：由 x ， y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是 x ， y 的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x ， y 的解析式．线性目标函数：目标函数为 x ， y 的一次解析式．线性规划问题：求线性目标函数性约束条件下的最大值或最小值问题．可行解：满意线性约束条件的解x, y ．可行域：全部可行解组成的集合．最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．11、设 a 、 b 是两个正数，就平均数．a b 称为正数 a 、 b 的算术平均数， ab 称为正数 a 、 b 的几何2a b12、均值不等式定理： 如 a13、常用的基本不等式：0 ， b0 ，就 a b2 ab ，即2ab ．① a2b2 2ab a, b R ；a2 b 2② ab a ,b R ；22 2 2 2③ ab a b 2a 0,b0 ；④a b a b a,b R ．2 214、极值定理：设 x 、 y 都为正数，就有2⑴如 x y s （和为定值） ，就当 x y 时，积 xy 取得最大值 s ．4⑵如 xy p （积为定值） ，就当 x y 时，和 x y 取得最小值 2 p ．一、一元二次不等式解法1、 直接按步骤解3 x2x 2 02、 分式不等式转化为整式不等式， 右边不为 0 要移项通分， 留意 x 前面系数为正精品文档精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -精品文档仍要留意，最终取值分母不为 0（ 1） 2 x 1 03x 12 x（ 2） 1x 33、 高次不等式用穿根法：奇穿偶不穿（奇次方穿过 x 轴，偶次方不穿过）解不等式：x2 2 x 3x2 5 x 6 0二、解含参不等式：争论根的大小，参数为 0 等情形1、因式分解类争论解不等式： x2〔a a 2 〕 x a 30〔 a R〕2、直接争论 解不等式： 〔 x2〕〔 ax2〕 0〔a R〕3、 分式含参不等式：先转化为整式不等式，再争论解不等式：a〔 x x1〕 1〔a 0〕24、 含参肯定值不等式：主要是零点分段题目精品文档精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -精品文档解不等式：（ 1） x 3x 1 1（1）x（ 2）4 3 x a的解集为 ， a的取值范畴（2）使得x+1 - 2x a 恒成立，a 的取值范畴三、一元二次不等式与韦达定理1、 如一元二次不等式mx2 +8mx+28<0,的解集为{ x-70的解集为{ x >0〕, 求cx2 +bx+a<0的解集〔2〕 已知不等式 ax 2+bx+c ＞ 0 的 x 的取值范畴是 x＜ 1 或 x ＞ 3，就满意不等式 cx2+bx+a ＞ 0 的 x的取值范畴是 针对练习： 如不等式 ax 2-bx+c ＞ 0 的解集是 {x|-2 ＜ x ＜ 3} ，求不等式 cx 2 +bx+a ＞ 0 的解集四、恒成立问题精品文档精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -精品文档1、当a为何值时候，不等式2 2〔 a 1〕x〔 a 1〕 x1 0的解集为 R2 、 y=mx2x2 -8x+20+2〔 m+1〕+9m+4>0 对任意实数x恒成立，求m的取值范畴变式练习：x2 +x+1y= x2 +10恒成立，求y的取值范畴3、 二次函数恒成立已知函数y =x2 +ax+3（1）当 x R, y a恒成立,求a范畴 〔2〕 当x[-2,2] ， y a恒成立，求a范畴4、 分别变量法求恒成立问题：不等式 mx2-2 x+m-2<0（1）如对 x R，恒成立求 m范畴,〔2〕对 m2一切m都成立，求x范畴均值不等式精品文档精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -精品文档a b a2 b22a b a2 b2ab ab a,b R+2 2 2 2只要留意和为定值用积，积为定值用和，留意条件：一正、二定、三相等（肯定验算相等取值）第一遇到均值不等式题目，把上面公式列在草稿纸上1、 积为定值如 y x〔9 3x〕 〔0 x 3〕求y的最值2、 有根号的和为定值一般用到公式a b a2 b22 2（ 1）、已知 a +b=1 （ a ,b R+ 〕，求a+4+b +4的最值（2） 已知 a +b=1（ a,b R+ 〕，求2a+1+ 2b+1的最值3、 利用 1，或变为 1（1） 已知 a +b+c=1 （ a,b,c R+ 〕，求1 1 1+ + 9a b c（2） 已知 a +b+c=1 （ a ,b,c R+ 〕，求1 + 1 + 1 9a+b b+c c+a 2（3） 已知 x+y, 1 + 1x y其中一个求另一个类型题目。