01第一节二维随机变量及其分布.doc

第三章 多维随机变量及其分布 在实际应用中, 有些随机现象需要同步用两个或两个以上的随机变量来描述. 例如, 研究某地区学龄前小朋友的发育状况时, 就要同步抽查小朋友的身高、体重, 这里, 和是定义在同一种样本空间{某地区的所有学龄前小朋友}上的两个随机变量. 又如, 考察某次射击中弹着点的位置时，就要同步考察弹着点的横坐标和纵坐标. 在这种状况下，我们不仅要研究多种随机变量各自的记录规律，并且还要研究它们之间的记录相依关系，因而还需考察它们的联合取值的记录规律，即多为随机变量的分布. 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难, 故我们重点讨论二维随机变量.第一节 多维随机变量的分布内容分布图示 ★ 二维随机变量★ 二维随机变量的分布函数 ★ 例1★ 二维离散型随机变量及其概率分布★ 例2 ★ 例3 ★ 例4★ 例5 ★ 例6★ 二维持续型随机变量及其概率密度 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 二维均匀分布 ★ 例10★ 二维正态分布 ★ 例11 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-1 内容要点： 一、 二维随机变量定义1 设随机实验的样本空间为, 为样本点，而是定义在上的两个随机变量, 称为定义在上的二维随机变量或二维随机向量. 二、 二维随机变量的分布函数定义2 设是二维随机变量, 对任意实数, 二元函数称为二维随机变量的分布函数或称为随机变量和的联合分布函数.联合分布函数的性质:（1） 且对任意固定的 对任意固定的(2) 有关和均为单调非减函数, 即对任意固定的 当对任意固定的 当(3) 有关和均为右持续, 即 三、 二维离散型随机变量及其概率分布定义3 若二维随机变量只取有限个或可数个值, 则称为二维离散型随机变量. 结论：为二维离散型随机变量当且仅当均为离散型随机变量.若二维离散型随机变量所有也许的取值为 则称为二维离散型随机变量的概率分布(分布律), 或的联合概率分布(分布律).与一维情形类似,有时也将联合概率分布用表格形式来表达, 并称为联合概率分布表: 注：对离散型随机变量而言, 联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观, 并且可以更加以便地拟定取值于任何区域上的概率，即,特别地, 由联合概率分布可以拟定联合分布函数: 四、二维持续型随机变量及其概率密度定义 设为二维随机变量,为其分布函数, 若存在一种非负可积的二元函数, 使对任意实数, 有则称为二维持续型随机变量, 并称为的概率密度(密度函数), 或的联合概率密度(联合密度函数).概率密度函数的性质: (3) 设是平面上的区域,点落入内的概率为特别地, 边沿分布函数上式表白: 是持续型随机变量, 且其密度函数为:同理, 是持续型随机变量, 且其密度函数为:,分别称和为有关和的边沿密度函数.(4) 若在点持续, 则有 进一步, 根据偏导数的定义, 可推得:当很小时, 有即, 落在区间上的概率近似等于 五、二维均匀分布设是平面上的有界区域,其面积为.若二维随机变量具有概率密度函数则称在上服从均匀分布. 六、二维正态分布若二维随机变量具有概率密度其中均为常数,且,则称服从参数为的二维正态分布.注：二维正态随机变量的两个边沿分布都是一维正态分布，且都不依赖于参数，亦即对给定的，不同的相应不同的二维正态分布，但它们的边沿分布都是相似的，因此仅由有关和有关的边沿分布，一般来说是不能拟定二维随机变量的联合分布的.例题选讲： 二维随机变量的分布函数例1 设二维随机变量的分布函数为(1) 试拟定常数(2) 求事件的概率.解 (1) 由二维随机变量的分布函数的性质, 可得由这三个等式中的第一种等式知故由第二、三个等式知于是得故的分布函数为(2) 由(1)式得 二维离散型随机变量及其概率分布例2 (讲义例1) 设随机变量在1, 2, 3, 4四个整数中档也许地取一种值，另一种随机变量在1~中档也许地取一整数值，试求的分布律.解 由乘法公式容易求得的分布律. 易知的取值状况是: 取不不小于的正整数, 且于是的分布律为X1234Y11/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16 例3 (讲义例2) 把一枚均匀硬币抛掷三次, 设为三次抛掷中正面浮现的次数, 而为正面浮现次数与背面浮现次数之差的绝对值, 求的概率分布及有关的边沿分布.Y13X001/813/8023/80301/8解 可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)故的概率分布如右表.从概率分布表不难求得有关的边沿分布.从而得右表Y13X001/81/813/803/823/803/8301/81/86/82/81例4 设二维随机变量的联合概率分布为 YX010.30.10.110.050.2020.200.05求及解 二维持续型随机变量及其概率密度例5 设的概率分布由下表给出，求 表3—1B 0200.10.2010.20.050.120.1500.1解 例6 一整数等也许地在十值中取一种值. 设是能整除的正整数的个数，是能整除的素数的个数（注意1不是素数）. 试写出和的联合分布律.并求分布律.解 将实验的样本空间及取值的状况列表如下:所有也许取值为1,2,3,4; 所有也许取值为0,1,2.容易得到取 的概率, 可得和的联合分布律及边沿分布律如下表:D1234F01/100001/10104/102/101/107/1020002/102/101/104/102/103/101即有边沿分布律 例7 (讲义例3) (1) 求分布函数 (2) 求概率解 (1) 即有(2) 将看作是平面上随机点的坐标, 即有 其中为平面上直线及其下方的部分, 如图. 于是例8 (讲义例4) 设的概率密度是求 (1) 的值; (2) 两个边沿密度.解 (1) 由拟定 (2) 即二维均匀分布例9 设随机变量和具有联合概率密度 求边沿概率密度.解 例10 (讲义例5) 设服从单位圆域上的均匀分布, 求X和Y的边沿概率密度.解当或时， 从而当时，于是我们得到的边沿概率密度由和在问题中地位的对称性, 将上式中的改成 就得到的边沿概率密度 二维正态分布例11 (讲义例6) 设二维随机变量的概率密度试求有关的边沿概率密度函数.解 运用函数及奇偶函数的积分性质得 注: 此例阐明, 边沿分布均为正态分布的二维随机变量, 其联合分布不一定是二维正态分布.课堂练习1.将两封信随意地投入3个邮筒, 设,分别表达投入第1, 2号邮筒中信的数目, 求和的联合概率分布及边沿概率分布.2.设向量的密度函数的密度函数为求 (1) 参数的值；（2）的边沿密度.。