浙江省宁波市洪塘中学2018年高三数学文模拟试卷含解析.docx

浙江省宁波市洪塘中学2018年高三数学文模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 钝角△ABC中，已知AB=， AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积是       A．                       B．                       C．                         D．参考答案：A2. 已知抛物线C：y2=﹣8x的焦点为F，直线l：x=1，点A是l上的一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B，若，则|AB|=（　　）A．20 B．16 C．10 D．5参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=﹣8m，利用向量共线的坐标表示，由，确定A，B的坐标，即可求得．【解答】解：由抛物线C：y2=﹣8x，可得F（﹣2，0），设A（1，a），B（m，n），且n2=﹣8m，∵，∴1+2=﹣3（m+2），∴m=﹣3，∴n=±2，∵a=﹣3n，∴a=±6，∴|AB|==20．故选：A．【点评】本题考查抛物线的性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．3. 已知数列{an}{n=1，2，3…，2015}为等差数列，圆C1：x2+y2﹣4x﹣4y=0，圆C2：x2+y2﹣2anx﹣2a2016﹣ny=0，若圆C2平分圆C1的周长，则{an}的所有项的和为（   ）   A．2014       B．2015       C．4028       D．4030参考答案：D4. 若，使得成立，则的取值范围（  ） A.         B.        C．      D．参考答案：D5. 一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b分别是数列{2n﹣2}（n∈N*）的第2项和第4项，则这个样本的方差是（　　）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】由已知条件求出a=1，b=4，由此能求出S2．【解答】解：∵样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b分别是数列{2n﹣2}（n∈N*）的第2项和第4项，∴a=22﹣2=1，b=24﹣2=4，∴S2= [（1﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（7﹣4）2]=5，故选：C．6. 函数f(x)＝sin2x＋cos2x(　　)A．在单调递减            B．在单调递增C．在单调递减               D．在单调递增参考答案：D略7. 已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），如果对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2的解集为（　　）A．[﹣1，0）∪（3，4] B．[﹣1，0） C．（3，4] D．[﹣1，4]参考答案：B【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由已知令x=y=1求得f（1）=0，再求f（2）=﹣1，即有f（4）=﹣2，原不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2即为f[﹣x（3﹣x）]≥f（4）．再由单调性即可得到不等式组，解出它们即可．【解答】解：由于f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1则f（1）=2f（1），即f（1）=0，则f（1）=f（2×）=f（2）+f（）=0，由于，则f（2）=﹣1，即有f（4）=2f（2）=﹣2，不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2即为f[﹣x（3﹣x）]≥f（4）．由于对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），则f（x）在（0，+∞）上递减，则原不等式即为，即有，即有﹣1≤x＜0，即解集为[﹣1，0）．故选B．【点评】本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性和运用：解不等式，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．8. 已知函数（其中无理数e=2.718…），关于x的方程有四个不等的实根，则实数的取值范围是（   ）A． B．(2,+∞) C． D． 参考答案：C由题意可得函数的定义域为，且.令得或，则函数在，上单调递增；令得，则函数在上单调递减.∵∴函数的图象如图所示：令，则的增减性与相同，.∵关于的方程有四个不等的实根∴有四个不等的实根，即在和上分别有根.令，则.∴，即∴故选C. 9. 已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z)，且a⊥b.若x,y满足不等式，则z的取值范围为A..[-2，2]           B.[-2，3]              C.[-3，2]          D.[-3，3]参考答案：D  本题考查平面向量的数量积运算以及线性规划的基础知识.同时考查知识的综合应用能力和作图能力.因为，所以2x+3y=z，不等式可转化为，由图可得其对应的可行域为边长为，以点(1,0)，(-1,0)，(0,1)，（0，-1）为顶点的正方形，结合图象可知当直线2x+3y=z过点(0，-1)时z有最小值-3，当过点(0,1)时z有最大值3.所以z的范围为[-3,3].10. 设是复数z的共轭复数，且满足，i为虚数单位，则复数z的实部为（　　） A．4 B．3 C． D．2参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】计算题；对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数． 【分析】设出z=a+bi（a，b∈R），则，代入，整理后利用复数相等的条件计算a的值，则复数z的实部可求． 【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则， 由， 得a+bi+a﹣bi=， 则2a=4即a=2． ∴复数z的实部为：2． 故选：D． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点P，若且，则双曲线的离心率为________ 参考答案：略12. 在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为      ．参考答案：13. 在等差数列中，，且，，成等比数列，则公差d=          ．参考答案：3 ，，成等比数列， ， 解得d=3或d=-1,当d=-1时， 不符合等比数列，故d=3故答案为3 14. 若实数满足，则的最小值为___________.参考答案：1略15. 设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为       .参考答案：试题分析：双曲线渐近线方程为，所以考点：双曲线渐近线及离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16. 已知函数，令，则二项式，展开式中常数项是第 __________项.参考答案：517. 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是       （结果用最简分数表示）参考答案：.三位同学从三个项目选其中两个项目有中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为。

三、 解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E分别是AC，BC的中点，F在SE上，且SF=2FE．（1）求证：AF⊥平面SBC；（2）段上DE上是否存在点G，使二面角G﹣AF﹣E的大小为30°？若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）通过证明AF与平面SBC内的两条相交直线垂直即可；（2）抓住两点找到问题的求解方向：一是点G的预设位置，二是二面角G﹣AF﹣E的位置，计算即可．【解答】（1）证明：由AC=AB=SA=2，AC⊥AB，E是BC的中点，得．因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AE． 在Rt△SAE中，，所以．因此AE2=EF?SE，又因为∠AEF=∠AES，所以△EFA∽△EAS，则∠AFE=∠SAE=90°，即AF⊥SE． 因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥BC，又BC⊥AE，所以BC⊥底面SAE，则BC⊥AF．又SE∩BC=E，所以AF⊥平面SBC． （2）结论：段上DE上存在点G使二面角G﹣AF﹣E的大小为30°，此时DG=．理由如下：假设满足条件的点G存在，并设DG=t．过点G作GM⊥AE交AE于点M，又由SA⊥GM，AE∩SA=A，得GM⊥平面SAE．作MN⊥AF交AF于点N，连结NG，则AF⊥NG．于是∠GNM为二面角G﹣AF﹣E的平面角，即∠GNM=30°，由此可得．   由MN∥EF，得，于是有，．在Rt△GMN中，MG=MNtan30°，即，解得．于是满足条件的点G存在，且．【点评】本题考查空间几何图形中线面关系的平行或垂直的证明及空间角的计算，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19. 设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．参考答案：考点： 二维形式的柯西不等式；绝对值不等式．专题： 不等式的解法及应用．分析： （Ⅰ）根据函数f（x）=+=?+≤?=3，求得实数M的值．（Ⅱ）关于x的不等式即|x﹣1|+|x+2|≤3，由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥3，可得|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得x的范围．解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=+=?+≤?=3，当且仅当=，即 x=4时，取等号，故实数M=3．（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，故不等式的解集为[﹣2，1]．点评： 本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，绝对值的意义，绝对值三角不等式，属于基础题．20. 三棱锥A﹣BCD中，E是BC的中点，AB=AD，BD⊥DC（I）求证：AE⊥BD；（II）若DB=2DC=AB=2，且二面角A﹣BD﹣C为60°，求AD与面BCD所成角的正弦值．参考答案：【考点】MI：直线与平面所成的角；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）取BD的中点F，连EF，AF，推导出FE∥DC．从而BD⊥FE．再求出BD⊥AF，从而BD⊥面AFE，由此能证明BD⊥FE．（II）由BD⊥AF，得∠AFE即为二面角A﹣BD﹣C的平面角，由此能求出AD与面BCD所成角的正弦值．【解答】证明：（I）如图，取BD的中点F，连EF，AF，∵E为BC中点，F为BD中点，∴FE∥DC．又BD⊥DC，∴BD⊥F。