2021年例说用二次函数求图形面积的最值.docx

学习必备欢迎下载例说用二次函数求图形面积的最值二次函数常用来解决最优化问题这类问题； 而图形面积最优化问题已经走进各省市的中考试卷；下面分类予以说明；一、围成图形面积的最值1、 只围二边的矩形的面积最值问题例1、 如图 1，用长为 18 米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃；（1） 设矩形的一边长为 x（米），面积为 y（平方米），求 y 关于 x 的函数关系式；（2） 当 x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？分析：关键是用含 x 的代数式表示出矩形的长与宽；解：（ 1）设矩形的长为 x（米），就宽为（ 18- x ）（米），依据题意，得： yx〔18 x〕x 2 18 x ；x＞0又∵, 0＜x＜1818 x＞0（2）∵ yx〔18 x〕x 2 18x 中， a= -1 ＜0，∴ y 有最大值，即当 x b18 9 时，ymax4ac b 20 182812a 2〔 1〕4 a 4〔 1〕故当 x=9 米时，苗圃的面积最大，最大面积为 81 平方米；点评：在回扣问题实际时，肯定留意不要遗漏了单位；2、 只围三边的矩形的面积最值例2、 如图 2，用长为 50 米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙；问如何围，才能使养鸡场的面积最大？分析： 关键是明确问题中的变量是哪两个， 并能精确布列出函数关系式解：设养鸡场的长为 x（米），面积为 y（平方米），就宽为（（米），50 x ）2依据题意，得： yx＞0x〔 50 x〕 21 x2225x；＞又∵ 50 x , 020＜x＜50∵ y x〔 50 x〕21 x2225x 中， a=1＜0，∴ y 有最大值，2即当 x b 2a252 〔 1〕225 时，ymax4ac b 24a0 25 214 〔 〕26252故当 x=25 米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为625 平方米；2点评：假如设养鸡场的宽为 x，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成；3、 围成正方形的面积最值例 3、将一条长为 20cm的铁丝剪成两段， 并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．2(1) 要使这两个正方形的面积之和等于 17cm，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少 .(2) 两个正方形的面积之和可能等于 12cm2 吗. 如能，求出两段铁丝的长度；如不能，请说明理由．（1） 解：设剪成两段后其中一段为 xcm，就另一段为（ 20-x ） cm由题意得：〔 x〕 2 〔 204 4x〕 2 17解得： x116, x2 4当 x116 时， 20-x=4 ；当 x24 时， 20-x=16答： 这段铁丝剪成两段后的长度分别是 16 厘米、 4 厘米；（2） 不能2理由是：设第一个正方形的边长为 xcm，就其次个正方形的边长为成两个正方形的面积为 ycm ，20 4x 4〔5 x〕 cm，围依据题意，得： yx 2 〔5x〕 22 x 210 x25 ，∵ y x2〔5 x〕22 x210x25 中， a= 2 ＞ 0，∴ y 有最小值，b 10 54ac b24 2 2510 2 25即当 x 时，ymin=12.52a 2 2 2 4a 4 2 22＞12, 故两个正方形面积的和不行能是 12cm .4、 围成扇形的面积最值例 4 用长为 30 米的铁丝围成一个扇形 , 问如何围扇形的面积最大 .解: 如图 3，设围成扇形的半径为 R 米, 就围成扇形的弧长为 〔30-2R〕 米, 扇形的面积为 y（平方米） ,依据题意，得： y11 lR211 〔3022R〕R R2215R∵ y lR 2〔3022R〕RR 15R中，a= -1 ＜ 0，∴ y 有最大值，b 15 154 ac b 20 152225即当 R 时，ymax2a 2 〔 1〕 24a 4〔 1〕 4故当围成的扇形的半径 R 是 15 米时，扇形的面积最大，最大面积为2225 平方米；4二、截出图形面积的最值问题例 5 如图 4, △ ABC是一块锐角三角形的余料 , 边 BC=120mm高,AD=80mm要,把它加工成长方形零件 PQMN ,使长方形 PQMN的边 QM在 BC上, 其余两点 P、N 在 AB、AC上；（1） 问如何截才能使长方形 PQMN的面积 S 最大？（2） 在这个长方形零件 PQMN面积最大时， 能否将余下的材料△ APN、△ BPQ △ NMC剪下再拼成（不计接缝用料和损耗）一个与长方形零件 PQMN大小一样的长方形？如能，给出一种拼法；如不能，试说明理由；分析：解题的关键是利用几何学问求得函数关系式，再利用函数的性质加以解决问题；解：（ 1）设长方形零件 PQMN的边 PN=a mm， PQ=x mm，就 AE=AD-ED=AD-PQ（= 80- x ）mm，∵PN∥ BC ∴△ APN∽△ ABC，∴ PNBCAE（相像三角形的对应高的比等于相像比）ADa 80∴x, 解得： a1203 x ，∵ x＞0，∴ 0＜ x＜80120 x2 80x＞ 0∴S= a xx（1203 x）23 x22120x （ 0＜ x＜80）∵S= a xx（1203 x）23 x22120x （ 0＜ x＜80）中， a=3＜0，∴ S 有最大值，2即当 x b2a120340 时，smax4ac b 24 a0 120 2324002 〔 〕24 〔 〕22故当截得的长方形零件 PQMN的长为 60 mm，宽为 40 mm 时，长方形零件 PQMN的面积最大，最大面积为 2400mm；点评：长方形零件 PQMN的面积最大时， PN恰好是三角形的中位线；（2）能；理由是：s▲ ABC1120 8024800，长方形零件的最大面余料的面积也是 2400，所以从理论上说，仍大小一样的长方形；拼法：1、 作△ ABC的中位线 PN，2、 分别过 P、N 两点作 BC的垂线，垂足分别为 Q、M，3、 过 A 作 BC的平行线，分别交 QP、MN的延长线于 G、H两点因此，四边形 PNGH即为和长方形 PQMN大小一样的长方形；例 6 如图 6，在直角梯形 ABCD 中，∠ A= ∠D=90 ，截取 AE=BF=DG =x，已知 AB=6 ，CD=3 ， AD=4 ；求：（ 1）四边形 CGEF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式；（ 2）四边形 CGEF 的面积 S 是否存在着最小值？如存在， 求出最小值；如不存在，请说明理由；解：（ 1）梯形 ABCD的面积为 = 11AE1AF= x（ 6-x1 2） =3x- x2221 1 1 2= DE DG= x（ 4-x ） =2x- x222=1 BF DA=1 x 4=2x；222S△ AEF=S△〔3 6〕；4 =18，DGE ；S△ BCF所以， S=18-（ 3x-1 x2 ）- （ 2x-21 x2） -2x22=x -7x+18 ；由于： GC＞0、DE＞ 0、AF＞ 0，所以 6-x ＞ 0、3-x ＞ 0、 4-x ＞ 0、x＞0所以 0＜ x＜ 3 因此自变量 x 的取值范畴是： 0＜x＜ 3；2（2）由于 S =x -7x+18= （ x-7 ） 2+ 23 ，故当 x= 7 时，面积有最小值，而自变量 x 的取值2 4 2范畴是： 0＜ x＜ 3，所以 x= 7 根本不在这个范畴内，因此面积不存在最小值；2三、采光面积的最值例 7 用 19 米长的铝合金条制成如下列图的矩形的窗框；（1） 求窗框的透光面积 S（平方米）与窗框的宽 x（米）之间的函数关系式；（2） 求自变量 x 的取值范畴；（3） 问如何设计才能使窗框透过的面积最大？最大的透光面积是多少？分析：关键是用含 x 的代数式表示出 BC的长；解： 〔1〕 由图示的信息，可得： 3BC+2 0.5+3 x=19,所以 , BC=6 – x, 所以 AC=AB+BC=〔6– x+0.5〕 米,所以 , S=〔6 – x+0.5〕 x= -x 2+ 13 x;2〔2〕 由题意 , 得:x ＞ 0,6-x ＞ 0, 所以 0＜ x＜ 6, 因此自变量 x 的取值范畴是： 0＜x＜ 6,（3）∵ S=〔6 – x+0.5〕 x= -x2 13+2x 中， a= -1 ＜ 0，∴ S 有最大值，13b 2 134ac b 213 20 〔 〕2169即当 x 时，Smax2a 2 〔 1〕 44a 4〔 1〕 16故当 x= 13 米时，窗框的面积最大，最大面积为4四、动态图形面积的最值169 平方米；16例 8 如图 8，如图 9，在平行四边形 ABCD中， AD=4 cm，∠ A=60， BD⊥ AD. 一动点 P从 A 动身，以每秒 1 cm 的速度沿 A→ B→ C的路线匀速运动，过点 P作直线 PM，使 PM⊥ AD.(1) 当点 P运动 2 秒时，设直线 PM与 AD相交于点 E，求△ APE的面积；(2) 当点 P 运动 2 秒时，另一动点 Q也从 A动身沿 A→ B→ C的路线运动，且在 AB上以每秒 1 cm的速度匀速运动，在 BC上以每秒2 cm 的速度匀速运动 . 过 Q作直线 QN，使 QN∥ PM. 设点 Q运动的时间为 t 秒〔0 ≤ t ≤ 10〕 ，直线 PM与 QN截平行四边形 ABCD所得图形的2面积为 S cm .① 求 S 关于 t 的函数关系式；② 求 S 的最大值 .解： 〔1〕 当点 P 运动 2 秒。