重难点1-1 基本不等式求最值（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

重难点1-1 基本不等式求最值基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用题型1 直接法求最值】满分技巧条件和问题之间存在基本不等式的关系转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值．乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值．【例1】（2023·河南信阳·高三宋基信阳实验中学校考阶段练习）已知，，且，则的最大值为（ ）A．0 B．1 C．-1 D．2【答案】B【解析】因为，，则由基本不等式可得，所以有，当且仅当时等号成立.故选：B.【变式1-1】（2023·山东聊城·高三统考期中）已知，，且，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：A【变式1-2】（2023·上海青浦·高三校考期中）若且满足，则的最小值为 .【答案】【解析】因为，所以，则，当，即或时取等号，所以的最小值为.【变式1-3】（2023·河北保定·高三易县中学校考阶段练习）若都是正数，且，则的最小值为 ．【答案】【解析】，当且仅当，即，时等号成立.【变式1-4】（2023·河南·模拟预测）已知，则的最大值为 ．【答案】1【解析】由题意，在中，，当且仅当时取等号，即.【题型2 配凑法求最值】满分技巧将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值.配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键。

利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值是 .【答案】【解析】由，得，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.【变式2-1】（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）已知，，且，则的最大值为（ ）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】，当且仅当时取等号.即的最大值为.故选：A【变式2-2】（2023·山西晋中·高三校考开学考试）已知，则的最大值为（ ）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，因为，解得，故选：B【变式2-3】（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知实数，满足，则的最小值为 .【答案】4【解析】，当且仅当时，取得最小值.【变式2-4】（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知正实数x，y满足：，则的最大值为 .【答案】【解析】，当且仅当，即时取得等号；故的最大值为.【变式2-5】（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知，，则的最大值为 .【答案】【解析】因为，，所以，当且仅当即等号成立.【题型3 消元法求最值】满分技巧根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围。

例3】（2023·福建莆田·高三莆田一中校考期中）实数满足，则的最小值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因为，所以所以，当且仅当取等号故选：D．【变式3-1】（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知正实数、满足，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为正实数、满足，则，可得，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，此时，，故的最小值为.故选：B.【变式3-2】（2023·浙江金华·校联考模拟预测）已知，则的最小值为（ ）A．4 B．6 C． D．【答案】D【解析】由，，即，易知，所以，当且仅当时等号成立，此时，所以的最小值为.故选：D【变式3-3】（2023·重庆·高三渝北中学校考阶段练习）已知，，且，则的最小值为 .【答案】/【解析】由，可得，因为，可得，，当时，即时，等号成立.所以的最小值为.【变式3-4】（2023·河南洛阳·高三校联考模拟预测）已知，则的最小值为 ．【答案】【解析】由已知得，所以，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.【题型4 “1”的代换求最值】满分技巧1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数.模型1：已知正数满足，求的最小值。

模型2：已知正数满足求的最小值2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．【例4】（2023·辽宁铁岭·高三校联考期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）A．25 B．36 C．42 D．56【答案】B【解析】因为，，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为36.故选：B.【变式4-1】（2023·河北张家口·高三校联考阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（ ）A． B． C． D．1【答案】B【解析】正数，满足，即，则，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为，故选：B.【变式4-2】（2023·辽宁·高三校联考期中）若正实数，满足，则的最小值是 .【答案】.【解析】由正实数，满足，即，则，当且仅当且，即，时等号成立.【变式4-3】（2023·青海海南·高三校联考期中）已知实数，，且，则的最小值为 ．【答案】【解析】由已知可得，，当且仅当，且，即，时等号成立．所以，的最小值为.【变式4-4】（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）若正数满足，则的最小值是 .【答案】【解析】根据条件，得：，又函数在上单调递增，所以，即，又因为都是正数，所以，当且仅当时取等，所以最小值为.【变式4-5】（2023·河南周口·高三校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 ．【答案】【解析】，由，得，故，则，当且仅当，即时，等号成立．故的最小值为．【题型5 双换元法求最值】满分技巧双换元法是“1”的代换更复杂情况的应用，常用于分母为多项式的情况。

具体操作如下：如分母为与，分子为，设∴，解得：【例5】（2023·四川巴中·高三统考开学考试）已知且，则的最小值为（ ）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【解析】由题意得，，令，则，由得，故，当且仅当，结合，即时取等号，也即，即时，等号成立，故的最小值为9，故选：B【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最大值为 ．【答案】【解析】令，，则，，，，，所以，所以，当且仅当，，即，时等号成立．【变式5-2】（2023·山东·高三省实验中学校考期中）已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是 .【答案】【解析】因为，即，设，则，且，原式，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.【变式5-3】（2023·福建龙岩·高三校联考期中）已知且，则的最小值为 ．【答案】8【解析】由得，即，所以，令得所以，当且仅当，即时，等号成立.【题型6 齐次化法求最值】【例6】（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知实数、满足，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，即，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．故选：C．【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）若且，则的最小值为___________.【答案】【解析】因为,,,所以,所以.故，当且仅当,即时取等号，结合,即时取等号，所以最小值为.故答案为：【变式6-2】（2022秋·福建南平·高三校考期中）已知实数，，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得，，当且仅当等号成立，又，此时，.故选：D【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为_________．【答案】【解析】因为，则，所以，当且仅当时，等号成立，则的最大值为.故答案为：.【题型7 构造不等式求最值】满分技巧当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值.【例7】（2023·广东江门·高三统考阶段练习）已知，且，则的取值范围为 .【答案】【解析】由题意，且，当且仅当时，即时等号成立，令，则上式为：，即，解得或（舍），所以的取值范围为.【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）若，则的最小值是 （ ）A． B．1 C．2 D．【答案】C【解析】，当且仅当时取等号，因此，即，解得，所以当时，取得最小值2.故选：C【变式7-2】（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知实数，满足，，且，则的最大值为（ ）A．10 B．8 C．4 D．2【答案】B【解析】由，变形为，设，∵，当且仅当时，取等号，即，∴，∴，即，，∴，∴，此时，，即，时，的最大值为8.故选：B。