【易错题集】-数学思辨数学.pdf

高中数学易错点汇总 文博数学文博数学 思辨数学思辨数学 第 1 页，共 102 页 写在前面的话 易错点汇总是博哥教学 8 年多来的一个全面沉淀，涵盖了高中数学所有章节的所有易错点，为了更好的理解记忆，每道易错点都有至少一道题目易错点特征之一是自己做完一对答案就能立即反应过来，哎呦喂，自己怎么忽略了空集，忘记了斜率不存在等，如果花时间你提前把博哥整理的易错点记住了，那做题的时候大概率就能想到，能有效避免事后诸葛亮，要是关键考试就收益更大了对于艺术生或者数学学习吃力的同学，先记忆，很多时候学起来吃力，跟不上就是脑袋里数学知识储备不够，博哥把自己 8年多教学经验沉淀下来，你记住了，就有了博哥在易错点方面一半的功力，非常划算的投入呢，试试哈！对于擅长数学，学习起来相对轻松的同学，把易错点作为大纲，然后刷题，完善易错点下的题目，最终形成属于自己的易错题集，每个月拿出来瞅瞅，曾经的坑是否夷为平地，到了考试前复习，看到自己整理的易错题，博哥都能想象，你会开心的睡不着觉的，嘴里不自主的说“太好用了吧！”第 2 页，共 102 页 集合易错点 易错点：对空集概念的理解错误 1.下列关于集合与空集之间的关系中，说法正确的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】是任何非空集合的真子集 2.记，则下列四个命题中正确的个数为()A.B.C.D.【答案】D 易错点：对描述法的理解错误 3.已知集合，集合，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】集合，集合，则，故选：C 4.下列各组集合中，表示同一集合的是（）A.，B.，C.，D.，第 3 页，共 102 页【答案】D【解析】D 选项中 5.若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由，解得，所以故选 6.已知集合，则 _ 【答案】【解析】解得，又因为，7.设，则、两个集合的关系是()A.B.C.D.以上都不对【答案】D【解析】由于，则集合为数对组成的集合，而集合的元素为实数，故、两个集合无任何关系 故答案为：D 易错点：混淆了元素与集合、集合与集合间的关系 8.下列四个关系中错误的是（）A.B.C.D.【答案】AB 第 4 页，共 102 页【解析】选项、选项：表示集合与集合的关系，表示元素与集合的关系，故错误；选项：任意一个集合是它本身的子集，故正确；选项：空集是任何集合的子集，故正确故选 易错点：忘记考虑二次项系数为 0 的情景 9.已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 _ 【答案】或【解析】时，即，符合要求；时，至多有一个解，综上，的取值范围为或，故答案为：或 易错点：忘记考虑空集是任何集合的子集 10.若集合，且，则的值为()A.B.C.或 D.或或【答案】D【解析】集合，且，当时，成立；当时，由，得或，解得或 的值为或或 故选：D 第 5 页，共 102 页 11.设集合，若，则实数的取值范围是 _ 【答案】【解析】当时，解得；当时，如图所示，得，解得 综上所述，实数的取值范围是 12.已知集合，若，求实数的取值范围【解析】，因为，所以或 当时，即，是方程的两根，代入得，此时满足条件，即符合题意 当时，分两种情况：若，则，解得 若，则方程有两个相等的实数根，所以，解得 此时，符合题意 综上所述，所求实数的取值范围是 第 6 页，共 102 页 易错点：忘记验证集合的互异性 13.已知，则实数的值为()A.B.C.或 D.无解【答案】B【解析】因为，所以或当，即时，满足题意；当时，不满足集合元素的互异性，故舍去综上可得实数的值为，故选 B 14.设集合，若，则实数的值为()A.B.或 C.D.【答案】C【解析】依题意得：，解得(舍去)或 故选：C.第 7 页，共 102 页 常用逻辑用语易错点 易错点：命题的否定时否定了条件 1.命题“对任意的，”的否定是（）A.不存在，B.存在，C.存在，D.对任意的，【答案】C【解析】由全称命题的否定可知，任意变存在，结论否定，易知 C 正确 2.命题：“，”的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】命题：“，”为特称命题，其否定为全称命题，为，.故选 B.易错点：充分必要条件的顺序弄反 3.设集合，集合，那么“”是“”的 _ 条件(用“充分不必要，必要不充分，充要”填空)【答案】必要不充分【解析】解：由不能推出，如时，故充分性不成立根据可得，由成立一定能推出，故必要性成立 故“”是“”的必要不充分条件，故答案为必要不充分 第 8 页，共 102 页 4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选 A 5.的一个必要不充分条件是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：的充要条件为 对于 A，是的充要条件；对于 B，是的充分不必要条件；对于 C，是的既不充分也不必要条件；对于 D，是的一个必要不充分条件 故选：D 易错点：充分必要条件求参时漏了临界值 6.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：“”是“”的充分不必要条件，当“”成立时，必有“”成立；反之，当“”成立时，“”不一定成立 由此可得故选：C 第 9 页，共 102 页 7.设命题：，命题：；若是的充分条件，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】命题“”是命题“”的充分不必要条件，命题：，命题：；若是的充分条件，则，即故选 第 10 页，共 102 页 不等式易错点 易错点：不等式的性质应用不当 1.若，则一定有()A.B.C.D.【答案】C【解析】，2.若，为实数，下列结论正确的是()A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】对于 A：若，均小于，则不正确，对于 B：若，则，则，即，故 B 不正确，对于 C：若，则，即，故 C 不正确，对于 D：若，则，正确，故选：D 3.若实数，满足，则的取值范围是 _ 【答案】【解析】由题意得，所以 第 11 页，共 102 页 易错点：忽视基本不等式的应用条件 4.下列等式恒成立的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】A显然当，时，不等式不成立，故 A 错误；B，故 B 正确；C显然当，时，不等式不成立，故 C 错误；D显然当，时，不等式不成立，故 D 错误 故选：B 5.若、，且，则下列不等式中能恒成立的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】A、错误，令，B、错误，时，不成立，C、错误，时，不成立，D、正确 6.下列函数中，最小值为的是()A.B.C.D.【答案】C 第 12 页，共 102 页【解析】，当且仅当，即时，等号成立，函数的最小值为A、D 选项，“一正”不满足；B 选项，“三相等不满足”7.已知，则的最大值是 _ 【答案】-3【解析】，,当且仅当，即时取等号，的最大值为 故答案为：易错点：分式型不等式直接左右同乘分母 8.不等式的解集是 _ 【答案】【解析】不等式，移项得：，即，可化为,解得：，则原不等式的解集是 故答案为：第 13 页，共 102 页 易错点：分式型不等式未考虑分母不能为 0 9.不等式的解集是 _ 【答案】【解析】等价于且，不等式的解集是：故答案为：10.不等式的解集为 _ 【答案】【解析】由可得，用穿根法求得它的解集为，故答案为：易错点：一元二次不等式未考虑二次项系数的正负 11.已知不等式的解集为，则不等式的解集为 _ 【答案】【解析】由于不等式的解集为：，可知，且，是方程的两根，不等式可化为：，第 14 页，共 102 页 由于，故，即，解得所以所求不等式的解集为：易错点：一元二次不等式未考虑二次项系数为 0 的情况 12.对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】当时，不等式成立；设，当时函数为二次函数，要恒小于，抛物线开口向下且与轴没有交点，即且，得到：，解得综上得到 故选：B 13.已知的解集是，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】设函数，由题设条件关于的不等式的解集为，可得对任意的，都有，又当时，函数是关于的抛物线，故抛物线必开口向下，且与轴无交点，第 15 页，共 102 页 故满足，解得 当时，满足题意；当时，不等式为，解得，不满足题意 综上，实数的取值范围为故选：第 16 页，共 102 页 函数易错点 易错点：对同一函数的概念理解有误 1.下列各组函数中表示同一函数的是（）A.与 B.与 C.与 D.与【答案】D【解析】A 选项：定义域为，定义域为，故错误B 选项：定义域为，而定义域为，故错误C 选项：定义域为，定义域为，故错误D 选项：和定义域相同，化简后为同一函数，故正确故选 D.2.下列各组函数中是同一函数的是()A.与 B.与 C.与 D.与【答案】A【解析】对于 A，函数与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于 B，函数与 第 17 页，共 102 页 的定义域不同，不是同一函数；对于 C，函数与的对应关系不同，不是同一函数；对于 D，函数与的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数故选：A 易错点：求函数的定义域时条件考虑不充分 3.函数 的定义域为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】依题意得：，故选 4.函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】依题意得，解得，所以函数的定义域为，故选 第 18 页，共 102 页 易错点：定义域为 R 与值域为 R 理解错位 5.函数的定义域为，则实数的取值范围是 _ 【答案】【解析】函数的定义域为，恒成立 若，则不等式等价为，即，不满足条件；若，要使不等式恒成立，则，即，解得 综上，故答案为：6.若函数的定义域为，求实数的取值范围；【解析】由对恒成立，得且故的取值范围为 7.函数的值域为.则实数的取值范围是().【答案】【解析】令,则的值域包含 若,则,满足题意 若,则存在最大值,其值域不可能包含 若,则只需使与轴有交点,即,综上所述,第 19 页，共 102 页 易错点：换元法求函数解析式时未考虑定义域 8.已知函数，则函数的解析式为()A.B.C.D.【答案】C【解析】令，则，故选：C 9.已知，则函数 _ 【答案】，【解析】，又，易错点：对单调区间的概念理解不到位 10.判断函数的单调性【解析】令，由简单函数的单调性可知 在上单调递增，在上单调递减，由单调性的四则运算可知在上单调递增 所以在上单调递增 又在上单调递增，在上单调递减，第 20 页，共 102 页 由单调性的四则运算可知在上单调递增 所以在上单调递增 综上，在和上单调递增 11.函数 的单调递增区间是 _ 【答案】，【解析】，画出图象 易知单调递减区间为，易知单调递增区间为，易错点：判断函数的奇偶性时未考虑定义域 12.判断下列函数的奇偶性(1)【答案】非奇非偶函数(2)【答案】非奇非偶函数【解析】由定义域不关于原点对称，可知为非奇非偶函数 第 21 页，共 102 页 13.判断函数的奇偶性【解析】由题意知，所以函数的定义域为，关于原点对称，当时，所以函数既是奇函数又是偶函数 易错点：求奇函数的解析式时未考虑 x=0 的情况 14.已知定义在上的函数是奇函数，当时，求的解析式【答案】【解析】，注意如果奇函数在处有定义，一定有 易错点：分段函数未考虑间断点处的单调性 15.已知函数是上的增函数，则的取值范围是 _ 【答案】【解析】要使函数在上为增函数，需有在上递增，在上递增，且，第 22 页，共 102 页 所以有，解得，故的取值范围为故答案为 易错点：根式型函数未考虑定义域 16.函数的单调增区间是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由，得 设，它的单调增区间是，函数的单调增区间是故选：C 易错点：抽象函数未考虑定义域 17.已知函数是定义在上的减函数，且，则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】是定义在上的减函数，且，即，即，即实数的取值范围是，故选：B 第 23 页，共 102 页 易错点：二次函数。