集值优化问题超有效解的广义高阶导数型最优性条件论文.pdf

摘要摘要在赋范线性空间中利用广义高阶锥方向邻接导数研究集值优化问题的超有效解在近似锥一次类凸假设下，借助凸集分离定理和H e n i g 扩张锥的性质，得到了集值优化问题取得超有效元的F r i t zJ o h n 型必要条件在近似锥一次类凸和广义锥一凸的假设下，借助凸集分离定理和超有效解的标量化，在赋范线性空间中利用广义高阶锥方向邻接导数研究集值优化问题的高阶M o n d ．W 色i r 对偶问题关键字：超有效解；广义m 一阶C 一方向邻接导数；近似C 一次类凸；凸集分离定理；集值优化；高阶M o n d ．W e i r 型对偶A b s t r a c tA B S T R A C TI nn o r m a ll i n e a rs p a c e ss u p e re f f i c i e n ts o l u t i o n so fs e t ．v a l u e do p t i m i z a t i o na r ei n v e s t i g a t e dw i t hg e n e r a l i z e dh i g h e r ·o r d e rc o n e - d i r e c t e da d ja c e n td e r i v a t i v e s ．U n d e rt h ea s s u m p t i o no fn e a rc o n e - s u b c o n v e x l i k e n e s s ，w i t ht h eh e l po fs e p a r a t et h e o r e mf o rc o n v e xs e t sa n dt h ep r o p e r t i e so fH e n i ge x p a n s i o nc o n e ，t h et y p eo fF r i t zJ o h nn e c e s s a r yo p t i m a l i t yc o n d i t i o ni se s t a b l i s h e df o rs e t ．v a l u e do p t i m i z a t i o np r o b l e mt oo b t a i ni t ss u p e re f f i c i e n te l e m e n t s ．U n d e rt h ea s s u m p t i o no fn e a rc o n e ．s u b c o n v e x l i k e n e s sa n dg e n e r a l i z e dc o n e —c o n v e x ，w i t ht h eh e l po fs e p a r a t et h e o r e mf o rc o n v e xs e t sa n dt h es c a l a r i z a t i o no ns u p e re f f i c i e n c y ，i nn o r m a ll i n e a rs p a c e sah i g h e ro r d e rM o n d —W e i rt y p ed u a lp r o b l e mo fs e t ·v a l u e do p t i m i z a t i o na r ei n v e s t i g a t e dw i t hg e n e r a l i z e dh i g h e r - o r d e rc o n e - d i r e c t e da d j a c e n td e r i v a t i v e s ．K e yw o r d s ：S u p e re f f i c i e n ts o l u t i o n ；C o n e ··d i r e c t e dmt h ··o r d e rg e n e r a l i z e da 枷a c e n td e r i v a t i v e ；N e a rc o n e - s u b c o n V e x l i k e n e s s ；S e p a r a t et h e o r e mf o rc o n v e xs e t s ；S e t - v a l u e do p t i m i z a t i o n ；H i g h e ro r d e rM o n d —W e i rt y p ed u a l i t目录目录第1 章引论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．11 ．1 研究背景⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．11 ．2 预备知识⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．21 ．2 ．1 广义集值锥凸函数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯31 ．2 ．2 广义高阶锥方向导数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯41 ．2 ．3 有效性理论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯51 ．2 ．4 集值优化问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯71 ．3 本文主要研究内容⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1O第2 章超有效解的广义高阶锥方向邻接导数最优性条件⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 22 ．1 引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 22 ．2 基本概念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 22 ．3 最优性条件⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 4第3 章超有效解的广义高阶M o n d ．W e i r 对偶的集值优化⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．2 13 ．1 引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 13 ．2 基本概念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 13 ．3 高阶M o n d —W e i r 型对偶⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．2 3第4 章结论和展望⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 94 ．1 结论⋯．．：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 94 ．2 展望⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 9致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．3 0参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．3l攻读学位期间的研究成果⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．3 4I V第1 章引论1 ．1 研究背景第1 章引论在多目标规划问题的理论和算法研究中，一个很重要的方法就是通过纯量化的方法，把问题化成纯量问题。

然而，当序锥的内部为空集时，一个集合的有效点就不具有纯量的特征，于是相继地出现了各种各样的真有效点的概念这些真有效点都是为了适应纯量化的要求而引出的，在1 9 9 1 年，B o r w e i n [ q 定义了超有效点的概念，它统一了几乎所有真有效点并能用严格『E 泛函来标量化J a h n t 2 l 把发展超有效点理论摆在今后多目标规划理论研究方向的首位Z h e n gXY 【3 】把超有效点的概念从赋范线性空间推广到局部凸拓扑线性空间，并研究了它的存在性、标量化和稠密性等问题从此，在局部凸空间中H uYD [ 4 1 研究了超有效点的连通性众所周知，F r i t z ．J o h n 和K u h n ．T u c k e r 最优性条件是约束优化理论中最为优美的内容之一X uYH 1 5 J 在近似锥次类凸假设下给出了( S P ) 超有效元的K u h n ．T u c k e r 型和L a g r a n g e 型最优性条件在集值分析中，集值映射的导数起着非常重要的作用，已经被广泛应用到集值优化问题的最优性条件A u b i n 和F r a n k o w s k a [ 6 】定义了m ．阶C o n t i n g e n t 切锥和m ．阶C o n t i n g e n t 切导数f 其中m 是『F整数) 。

L iSJ ，T e oKL ，Y a n gXQ p J 在实赋范线性空间中考虑集值优化问题的弱有效性，利用高阶导数的性质给出了受约束于固定集的集值优化问题取得弱大有效解的充分必要条件L iSJ 和C h e nCR 【9 】引入了集值映射的高阶广义相依上图导数和邻接上图导数的概念，并利用这些高阶导数获得了约束集值优化问题在H e n i g 有效解意义下的高阶F r i t zJ o h n 型必要和充分最优性条件W a n gQL ，L iSJ 【l0 J 利用广义高阶上图导数给出了受约束于固定集的集值优化问题在H e n i g有效解意义下的广义充分必要最优性条件和受约束于集值映射的集值优化问题在H e n i g 有效解意义下的广义K u h n ．T u c k e r 型充分必要最优性条件L iZM 【⋯建立了在弱有效意义下( S P ) 的F r i t z ．J o h n 和K u h n ．T u c k e r 型非导数最优性条件李仲飞【l2 J 对目标映射和约束映射均为集值映射的向量优化问题( S P ) ，引入B e n s o n 真有效解( 元) 概念，对集值映射提出两种更弱的锥凸性概念。

然后对锥次第1 章引论类凸集值映射给出几个等价刻画和一个择一定理利用这些概念与结果，建立了( S P ) 的标量化定理和L a g r a n g e 乘子定理；在对适当的集值L a g r a n g e 映射提出真鞍点的新概念后，用它给出了真有效解的充分或必要条件盛宝怀在[ 1 3 ] 中对超有效点、B e n s o n 真有效点给出了K u h n ．T u c k e r 型最优性条件W a n gQL [ 1 4 】引入了广义高阶相依( 邻接) 集和集值映射的广义高阶锥方向相依( 邻接) 导数，讨论了集值映射的高阶M o n d ．W _ e i r 对偶型集值优化问题W a n gQL ，L iSJ ，T e oKL 【I 副在非凸性的假设下，利用广义高阶导数得到了集值优化问题取得弱有效解的充分必要最优性条件王其林等【l6 J 利用广义高阶锥方向导数给出了约束条件分别由一个集合和集值映射决定的集值优化问题取得弱极小解的广义高阶必要和充分最优性条件凸性在优化领域扮演着十分重要的角色，2 0 0 1 年Y a n g 等【1 7J 引进了近似锥次类凸性( n e a rc o n e ．s u b c o n v e x l i k e n e s s ) ，2 0 0 5 年S a c h l 2 2 J 引入了另一种凸性称为内部锥类凸( i c —c o n e ．c o n v e x l i k e n e s s ) ，X u l 2 驯证明了近似锥一次类凸是内部锥类凸的推广，因此，近似锥一次类凸是一种非常弱的凸性。

对偶理论在数值分析、工程等其他领域中起着重要的作用，许多学者在不同的假设条件下，研究了M o n d ．W e i r 型对偶、弱对偶、强对偶和逆对偶的集值优化问题并借助高阶导数或上导数推出高阶切集来研究高阶优化条件和集值优化问题的对偶因此对偶也备受关注【1 4 ，3 卜39 1 W 色i r 和M o n d [ 3 9 1 在不同的p s e d o凸和q u a s i ．凸假设下，获得了多目标优化问题的弱、强和逆对偶的弱最小解P r e d a和K o l l e r [ 3 4 J 推出了关于集函数的优化问题的M o n d ．W d r 型对偶问题和讨论了在广义p s e d o 一凸和广义q 。