3.2 导数的应用探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.导数与函数的单调性了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)2019课标Ⅲ,20,12分讨论函数的单调性及最值函数最值★★★2018课标Ⅰ,21,12分讨论函数的单调性,证明不等式函数的极值2017课标Ⅰ,21,12分讨论函数的单调性,根据函数零点求参数函数的零点2.导数与函数的极(最)值了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)2019课标Ⅰ,20,12分利用导数研究函数极值函数零点★★★2018课标Ⅰ,16,5分利用导数研究函数的最值三角函数2017课标Ⅱ,11,5分利用导数研究函数的极值指数函数2016课标Ⅲ,21,12分利用导数研究函数的最值三角函数及绝对值不等式3.导数的综合应用会利用导数解决某些实际问题2015课标Ⅰ,12,5分利用导数研究不等式问题函数单调性及函数的零点★★★分析解读 1.会利用导数研究函数的单调性,掌握求函数单调区间的方法.2.掌握求函数极值与最值的方法,解决利润最大、用料最省、效率最高等实际生产、生活中的优化问题.3.利用导数求函数极值与最值、结合单调性与最值求参数范围、证明不等式.4.从近五年的考查情况来看,本节一直是高考的重点和难点.一般以基本初等函数为载体,利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题,同时与解不等式关系最为密切,还可能与三角函数、数列等知识综合考查,一般出现在选择题和填空题的后两题中以及解答题的第21题,难度较大,复习备考的过程中应引起重视.破考点 练考向【考点集训】考点一 导数与函数的单调性1.(2019河南安阳模拟,5)已知函数f(x)与其导函数f '(x)的图象如图,则函数g(x)=f(x)ex的单调减区间为( )A.(0,4) B.0,43 C.(0,1),(4,+∞) D.(-∞,1),43,+∞答案 C 2.(2018湖北黄冈、黄石等八校3月联考,11)已知实数a>0,且a≠1,函数f(x)=ax,x<1,x2+4x+alnx,x≥1在R上单调递增,则实数a的取值范围是( )A.11 D.a≤5答案 B 考点二 导数与函数的极(最)值1.(2020届甘肃会宁第一中学第一次月考,8)函数f(x)=lnxx在区间(0,3)上的最大值为( )A.1e B.1 C.2 D.e答案 A 2.(2019安徽马鞍山第二中学3月模拟,6)已知函数f(x)=13x3+mx2+nx+2,其导函数f '(x)为偶函数, f(1)=-23,则函数g(x)=f '(x)ex在区间[0,2]上的最小值为( )A.-3e B.-2e C.e D.2e答案 B 3.(2018豫南九校第二次质量考评,10)若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值,则常数c的值为( )A.4 B.2或6 C.2 D.6答案 C 考点三 导数的综合应用 (2018河北衡水金卷信息卷(二),6)已知某服装厂生产某种品牌的衣服,销售量q(x)(单位:百件)关于每件衣服的利润x(单位:元)的函数解析式为q(x)=1 260x+1,0|f(x1)-f(x2)|成立,求实数m的取值范围.解析 (1)∵函数f(x)=1−a2x2+ax-ln x(a∈R),∴函数f(x)的定义域为(0,+∞).当a=1时, f(x)=x-ln x, f '(x)=1-1x=x-1x,当01时, f '(x)>0, f(x)单调递增,∴函数f(x)的极小值为f(1)=1,无极大值.(2)∵函数f(x)=1−a2x2+ax-ln x(a∈R),∴f '(x)=(1-a)x+a-1x=(1-a)x-1a-1(x-1)x,当a∈(4,5)时,在区间[1,2]上, f '(x)≤0,则f(x)单调递减, f(1)是f(x)的最大值, f(2)是f(x)的最小值,∴|f(x1)-f(x2)|≤f(1)-f(2)=a2-32+ln 2.∵对任意a∈(4,5)及任意x1,x2∈[1,2],恒有a-12m+ln 2>|f(x1)-f(x2)|成立,∴a-12m+ln 2>a2-32+ln 2,得m>a-3a-1.∵a∈(4,5),∴a-3a-1=1-2a-1<1-25−1=12,∴m≥12,∴实数m的取值范围是12,+∞.方法3 利用导数求解不等式问题1.(2019江西上饶第二次模拟,11)对任意x∈R,函数y=f(x)的导数都存在,若f(x)+f '(x)>0恒成立,且a>0,则下列说法正确的是( )A. f(a)f(0)C.ea·f(a)f(0)答案 D 2.(2020届安徽A10联盟上学期摸底,22)已知函数f(x)=xln x.(1)若函数φ(x)=f(x)-(m+2)x,讨论函数φ(x)在[3,+∞)上的单调性;(2)求证:e2f(x)<2ex.解析 (1)由题意得,φ(x)=xln x-(m+2)x,φ(x)的定义域为(0,+∞),∴φ'(x)=ln x-1-m,令φ'(x)=0,解得x=e1+m,则φ(x)在(0,e1+m)上单调递减,在(e1+m,+∞)上单调递增.(3分)当m≤ln 3-1时,e1+m≤3,此时函数φ(x)在[3,+∞)上单调递增;当m>ln 3-1时,e1+m>3,此时函数φ(x)在[3,e1+m)上单调递减,在(e1+m,+∞)上单调递增.(5分)(2)证明:要证e2f(x)<2ex,即证xln x<2e2·ex,即证lnxx<2exe2x2.(7分)令g(x)=2exe2x2,则g'(x)=2e2·ex(x-2)x3,故当02时,g'(x)>0,∴函数g(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,∴g(x)min=g(2)=12.(9分)令h(x)=lnxx,则h'(x)=1−lnxx2,故当00,当x>e时,h'(x)<0,∴函数h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,∴h(x)max=h(e)=1e.(11分)故h(x)max0时, f(x)=2πx-ln x+lnπ2,则函数g(x)=f(x)-sin x(e为自然对数的底数)的零点个数是( )A.1 B.2 C.3 D.5答案 C 2.(2019湖南娄底二模,11)已知函数f(x)=ln x-ax+a在x∈[1,e]上有两个零点,则a的取值范围是( )A.e1−e,-1 B.e1−e,1 C.e1−e,-1 D.[-1,e)答案 A 【五年高考】A组 统一命题·课标卷题组考点一 导数与函数的单调性1.(2019课标Ⅲ,20,12分)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.解析 本题主要考查利用导数求函数的单调性以及求函数的最值问题,通过导数的应用考查学生的运算求解能力以及分类讨论思想,考查了数学运算的核心素养.(1)f '(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).令f '(x)=0,得x=0或x=a3.若a>0,则当x∈(-∞,0)∪a3,+∞时, f '(x)>0;当x∈0,a3时, f '(x)<0.故f(x)在(-∞,0),a3,+∞单调递增,在0,a3单调递减.若a=0, f(x)在(-∞,+∞)单调递增.若a<0,则当x∈-∞,a3∪(0,+∞)时, f '(x)>0;当x∈a3,0时, f '(x)<0.故f(x)在-∞,a3,(0,+∞)单调递增,在a3,0单调递减.(2)满足题设条件的a,b存在.(i)当a≤0时,由(1)知, f(x)在[0,1]单调递增,所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.(ii)当a≥3时,由(1)知, f(x)在[0,1]单调递减,所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.(iii)当0
