初高衔接之计算补充练习（解析版）.pdf

1/18 学科网（北京）股份有限公司初高衔接之计算补充练习 由于初中数学课程与高中数学课程在内容、要求等方面存在差异，高中必备的某些数学知识在初中没有学到，使同学们在初中阶段所掌握的数学基础知识、基本技能和数学能力在某些方面不能适应高中数学的学习要求为了弥补知识空缺，使初、高中数学学习内容达到光滑衔接，并对运算技能和逻辑推理技能进行适当的强化训练，以使同学们能更好、更快地适应高中数学学习的需要题型目录【题型 1】平方差公式与完全平方公式提升训练【题型 2】一元二次方程根于系数的关系【题型 3】因式分解：含参十字相乘【题型 4】齐次式计算：比值消元【题型 5】解二元二次方程组【题型 6】试根法解一元三次方程【题型 7】立方和与立方差公式【题型 8】二重根式的化简【题型 9】分式型函数图像：分离常数与函数平移【题型 10】初识一元二次方程根的分布【课后作业】核心题型突破【题型 1】平方差公式与完全平方公式提升训练 初高中的过渡衔接尤其重要，初中必须掌握的一些知识很多同学就是没掌握好，导致高中学习相当吃力2/18 学科网（北京）股份有限公司 知识扩充：三项完全平方公 2222()222xyzxyzxyxzyz+=+1计算化简（1）2(1)(1)()ababab+【答案】41ab 【解析】原式=22()1()abab+=41ab （2）222211111111.234n【答案】12nn+【说明】此处用到了平方差公式和分式的错位相消【解析】原式=1111111111111111223344nn+=31425311223344nnnn+=13243511223344nnnn+=12nn+2运用公式展开：2(23)abc=【答案】222491246.abcabacbc+【解析】原式=222491246.abcabacbc+【巩固练习 1】已知4417aa+=，则221aa+等于_【答案】3 3/18 学科网（北京）股份有限公司【解答】解：，或（舍去）【巩固练习 2】已知4abc+=，4abbcac+=，则222abc+=_【答案】8【解答】()()222221688abcabcabbcac+=+=【巩固练习 3】已知2 32x=+，2 32y=，则223xxyy+=【答案】56【详解】解：2 32x=+，2 32y=，8xy=223xxyy+()2xyxy=+()22 322 328=+56=，故答案为：56【题型 2】一元二次方程根于系数的关系 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即20axbxc+=的两根为12,x x，则12bxxa+=，12cx xa=。

利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如()2221212122xxxxx x+=+3已知12,x x是方程2310 xx+=的两个实根，则有2212xx+=_，12xx=_【答案】7，5 4417aa+=2221()9aa+=2213aa+=2213aa+=4/18 学科网（北京）股份有限公司【解析】123xx+=，121x x=，则()22212121227xxxxx x+=+=，()212121245xxxxx x=+=4已知一元二次方程250 xxk+=的两个实数根为1x，2x，若1 212221x xxx+=，求实数 k 的值【答案】9k=【详解】解：关于 x 的一元二次方程250 xxk+=的两个实数根是1x和2x，125xx+=，12x xk=，1 212221x xxx+=2 51k+=9k=【巩固练习 1】若p和q是关于x的一元二次方程2520 xx+=的两个不相等的实数根，253+=pq 【答案】20【详解】解：p和q是关于x的一元二次方程2520 xx+=的两个不相等的实数根，2520pp+=即252pp=，5pq+=，()2535253555 5520pqpqpq+=+=+=，故答案为：20 【巩固练习 2】已知关于x的一元二次方程()22110axaxa+=有两个实数根(1)求a的取值范围(2)若该方程的两个实数根为1x，2x，且2212122x xx x+=，求a的值【答案】(1)1a 且0a (2)12a=【详解】（1）解：由题意，得：()()221410aa a且0a，解得：1a 且0a；5/18 学科网（北京）股份有限公司（2）该方程的两个实数根为1x，2x，()1212211,aaxxx xaa+=，()()22121212122112aax xx xx xxxaa+=+=，解得：12a=，经检验12a=是原方程的解 【题型 3】因式分解：含参十字相乘 十字相乘法：()()2()xpq xpqxpxq+=+在二次三项式2(0)axbxc a+中,如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即12aaa=,常数项c可以分解成两个因数之积,即12ccc=,把121,a a c,2c.排列如下:按斜线交叉相乘,再相加,得到1 22 1a ca c+,若它正好等于二次三项式2axbxc+的一次项系数b,即1 22 1a ca cb+=,那 么 二 次 三 项 式 就 可 以 分 解 为 两 个 因 式11a xc+与22a xc+之 积,即()()21122axbxca xca xc+=+.5分解因式：20 xaxxa+=【答案】()()10 xaa+=【详解】解：()22010 xaxxaxaxa+=+=()()10 xaa+=6分解因式：()221xaxa+=【答案】()()11xxa+6/18 学科网（北京）股份有限公司 7()222xa xa可因式分解为_【答案】()()2xxa+【巩固练习 1】2(21)2axax+可因式分解为 【答案】(1)(2)axx 【巩固练习 2】()21xaxa+【答案】(1)()xxa【巩固练习 3】()2210 xaxyyaa+【答案】()1xayxya+【题型 4】齐次式计算：比值消元 齐次式：等式两端或分子分母中每一项的次数都相同的式子称为齐次式 比值消元：一种特殊的消元方式，可以把双变量方程简化为单变量计算，求出两个变量的比例关系 8已知：22320 xxyy+=，则xy 【答案】1 或 2【详解】等式两边同时除以2y得到2()3xy)20,+=解方程即可【巩固练习 1】已知：0ac，且422430ca ca+=，则ca 【答案】512【解析】原方程两边同时除以4a得到42()3()10,ccaa+=解得23562 5()24ca=2(51),4即得51.2ca=说明注意2()ca是正数，要舍去负根 7/18 学科网（北京）股份有限公司【巩固练习 2】已知：22560 xxyy+=，则232xyxy+【答案】5 或913【详解】原方程两边同时除以 x2 得到21 560yxxy+=解方程可得16yx=或 1，从而原式=2352yxyx+=或913 【题型 5】解二元二次方程组 二元方程组的解法在初中有过比较详细的学习。

但是二元二次方程组在高中会继续碰到，它的解法有其特殊性，所以有必要在这一块强化一、代入消元法解二元二次方程组的一般步骤：(1)选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；(2)将变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元方程；(3)解这个一元方程，求出未知数的值；(4)将求得的未知数的值代入(1)变形后的方程中，求出另一个未知数的值；(5)写出原方程组的解 二、加减消元法解二元二次方程组的一般步骤：(1)利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或互为相反数的形式；(2)将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元方程(若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数则用加法)；8/18 学科网（北京）股份有限公司(3)解这个一元方程，求出未知数的值；(4)将求得的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；(5)写出原方程组的解 9解下列方程组：22330(1)21xyyxy+=解：22330,21,xyyxy+=由，得21yx=把代入，得223(21)(21)30 xxx+=整理后，得2230 xx=解得121,3xx=.将1x=代入，得13y=2x=3 代入得25y=所以原方程组的解是1,3xy=或3,5.xy=224915,(2)235.xyxy=【答案】2,1.3xy=【解析】解：224915,(2)235.xyxy=由，得(23)(23)15.xyxy+=将代入，得233.xy+=+，得 4x=8解得 x=2 将 x=2 代入，得 4+3y=3 解得13y=，所以原方程组的解是2,1.3xy=9/18 学科网（北京）股份有限公司【巩固练习 1】22530 xyxy+=+=【答案】2,1.3xy=【解析】解：22530 xyxy+=+=由，得3yx=把代入，得()2235xx+=整理后，得2320 xx+=解得121,2xx=.将1x=代入，得12y=2x=2 代入得21y=所以原方程组的解是1,2xy=或2,1.xy=【巩固练习 2】2222205xxyyxy+=+=【答案】2,1.3xy=【解析】解：2222205xxyyxy+=+=由，得(2)()0 xy xy+=，即20 xy+=或0 xy=将20 xy+=代入，得2245yy+=，得1y=，即2,1.xy=或2,1.xy=将0 xy=代入，得225yy+=，得102y=，即10,210.2xy=或10,210.2xy=10/18 学科网（北京）股份有限公司 【题型 6】试根法解一元三次方程 高次方程高中阶段基本上不会单独考查，即使考查次数也不会超过三次，但函数或导数解题计算中经常会出现关键一步，所以掌握简单有实数根的一元三次方程的解法是很有必要的。

试根法：高中阶段考查的三次方程根简单常见，如1，2，由此确定方程的一个根，然后对三次方程因式分解，从而完成方程求解10解方程:32340 xx+=【答案】1x=或2x=【解析】猜测并验证得出1x=是方程的一个根，那么(1)x是方程的一个因式 故方程可以改写为()2(1)0 xaxbxc+=易得144abc=，则()()32234144xxxxx+=+解得1x=或2x=【巩固练习 1】解方程：3320 xx+=【答案】1x=或2x=【解析】猜测并验证得出1x=是方程的一个根 ()()323212xxxxx+=+1231,2xxx=【巩固练习 2】解方程：3234xx+【答案】1231,2,3xxx=【解析】猜测并验证得出1x=是方程的一个根 ()()32226165xxxxxx+=1231,2,3xxx=11/18 学科网（北京）股份有限公司【巩固练习 3】39100 xx+=【解析】猜测并验证得出2x=是方程的一个根 ()()32910225xxxxx+=+1232,61,61xxx=【题型 7】立方和与立方差公式 立方差：()3322()ababaabb=+立方和：()3322()ababaabb+=+11已知2310 xx+=，求331xx+【答案】18 【解析】13xx+=，故原式=211318xxxx+=【巩固练习 1】()()22(1)(1)11xxxxxx+【答案】61.x 【解析】原式=()()226(1)1(1)11xxxxxxx+=【巩固练习 2】设2323x+=，2323y=+，求33xy+的值.【答案】2702【解析】直接计算可得2222(23)(23)1,1423xyxy+=+=，故原式=()()()2222()()()314 1432702xyxxyyxyxyxy+=+=12/18 学科网（北京）股份有限公司 说明注意综合使用完全平方公式与立方和公式 【题型 8】二重根式的化简 二重根式化简，中考不做要求，但是，在高中的三角函数、解析几何中却频频出现!()224ababababab+=+=+，要化简AB+，则4abAabB+=12化简根式：84 3+【答案】26+【解析】8284 382 12126abaabb+=+=+=，故。