初高中衔接数学资料（解析版）.pdf

课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 1 页第一章 乘法公式与因式分解第一章 乘法公式与因式分解1.1 乘法公式我们知道(a+b)2=a2+2ab+b2，将公式左边的指数变为3时，又有什么结论呢？由于(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a2+2ab+b2(a+b)=a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3，因此得到和的立方公式和的立方公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3将公式中的b全部改为-b，又得到差的立方公式差的立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3上述两个公式称为完全立方公式完全立方公式，它们可以合写为(ab)3=a33a2b+3ab2b3【例1】化简：(x+1)3-x x2+3x+3【解答】(x+1)3-x x2+3x+3=x3+3x2+3x+1-x3-3x2-3x=1由完全立方公式可得(a+b)3-3a2b-3ab2=a3+b3，即(a+b)(a+b)2-3ab=a3+b3，由此可得立方和公式立方和公式(a+b)a2-ab+b2=a3+b3将立方和公式中的b全部改为-b，得到立方差公式立方差公式(a-b)a2+ab+b2=a3-b3【例2】对任意实数a，试比较(1+a)(1-a)1+a+a21-a+a2与1的大小【解析】观察(1+a)(1-a)1+a+a21-a+a2的结构特点，可运用立方和(差)公式将其化简【解答】(1+a)(1-a)1+a+a21-a+a2=(1+a)1-a+a2(1-a)1+a+a2=1+a31-a3=1-a6因为1-a6-1=-a6，对任意实数a，-a60，所以第 2 页课堂笔记(1+a)(1-a)1+a+a21-a+a21通过将完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2中的指数2推广到3，我们得到了完全立方公式有兴趣的同学可以将指数推广到4，5，另外，我们也可以从项数的角度推广(a+b+c)2=(a+b)+c2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca灵活应用等式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，可以为代数式运算带来方便【例3】已知a+b+c=0，ab+bc+ca=-12，求下列各式的值：(1)a2+b2+c2(2)a4+b4+c4【解析】将(1)与已知联系，联想已知中的等式，发现可将a2+b2+c2用a+b+c和ab+bc+ca表示由于a4+b4+c4=a22+b22+c22，由(1)得到启发，如果知道a2b2+b2c2+c2a2的值，就能得解【解答】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca由上式和已知得0=a2+b2+c2-1，即a2+b2+c2=1(2)由ab+bc+ca=-12，得a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=14因为a+b+c=0，所以a2b2+b2c2+c2a2=14再由(1)的结论，得a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2=1因此a4+b4+c4=12【例4】已知x2+x-1=0，求证：(x+1)3-(x-1)3=8-6x【证法1】(x+1)3-(x-1)3=x3+3x2+3x+1-x3-3x2+3x-1=x3+3x2+3x+1-x3+3x2-3x+1=6x2+2由已知得x2=1-x，故6x2+2=6(1-x)+2=8-6x因此，(x+1)3-(x-1)3=8-6x【证法2】(x+1)3-(x-1)3=(x+1-x+1)(x+1)2+(x+1)(x-1)+(x-1)2=2 x2+2x+1+x2-1+x2-2x+1课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 3 页=6x2+2以下同证法1习题1.11.若a+b=8，ab=2，则a3+b3=()A.128B.464C.496D.5122.若x+y+z=0，则x3+y3+z3=()A.0B.x2y+y2z+z2xC.x2+y2+z2D.3xyz3.设 A=n+1n3，B=n3+1n3+6，对于任意 n 0，则 A，B 大小关系为()A.ABB.ABC.ABD.不一定4.(5-x)25+5x+x2=5.观察下列各式的规律：(a-b)(a+b)=a2-b2，(a-b)a2+ab+b2=a3-b3，(a-b)a3+a2b+ab2+b3=a4-b4可得到(a-b)an+an-1b+abn-1+bn=(其中n为正整数)6.求函数y=(x-2)3-x3的最大值7.当x=33 时，求代数式 2x+1x4x2-2+1x2-1x3的值8.已知 a，b，c 为非零实数，a2+b2+c2x2+y2+z2=(ax+by+cz)2，求证：xa=yb=zc第 4 页课堂笔记1.2 因式分解因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式，它与多项式乘法运算是互逆变形我们已学过两种分解因式的方法：提取公因式法与公式法下面我们继续学习一些分解因式的方法1.十字相乘法我们知道，形如x2+(p+q)x+pq的二次三项式，它的特点是二次项系数是1，常数pq与一次项系数p+q可以通过如图12-1的“十字相乘，乘积相加”方式建立联系，得到x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)这种方法能否推广呢？如果要对2x2-7x+3分解因式，我们把二次项系数2分解为12，把常数项3分解成13或(-1)(-3)，按图12-2至图12-5的运算方式，也用“十字相乘，乘积相加”验算123113+21=5121311+23=712-3-11-3+2-1=-512-1-31-1+2-3=-7图1.2-2图1.2-3图1.2-4图1.2-5可以发现图12-5对应的结果1(-1)+2(-3)=-7，恰好等于一次项系数-7由于(x-3)(2x-1)=2x2-7x+3，从而2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法十字相乘法【例1】将下列各式分解因式：(1)2x2+x-3；(2)-6a2+7a+5【解析】(1)因为2=12，-3=(-1)3=1(-3)，且一次项系数是1，所以可按图12-6用十字相乘法分解因式(2)当二次项系数为负时，二次项系数分解成的两个因数异号，则十字辅助图的各种可能性就会更多因此先把负号提到括号外面，即-6a2+7a+5=-6a2-7a-5，然后再把6a2-7a-5按图12-7用十字相乘法分解因式【解答】(1)因为13+2(-1)=1，恰好等于一次项系数1，所以2x2+x-3=(x-1)(2x+3)(2)因为-6a2+7a+5=-6a2-7a-5，而根据十字相乘法，6a2-7a-5=(2a+1)(3a-5)，所以-6a2+7a+5=-(2a+1)(3a-5)11pq1p+1q=p+q图1.2-1123-1123-1图1.2-6图1.2-7课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 5 页【例2】分解因式：x2-x2-x2-x-2【解析】先将x2-x视为一个整体，通过两次十字相乘法得到解决【解答】x2-x2-x2-x-2=x2-x-2x2-x+1=(x-2)(x+1)x2-x+12.分组分解法观察多项式xm+xn+ym+yn，它的各项并没有公因式，因此不能用提取公因式来分解因式；这是一个四项式，因此也不能直接用公式法或十字相乘法来分解因式观察多项式的各项，前两项有公因式x，后两项有公因式y，分别提取后得到x(m+n)+y(m+n)这时又有了公因式(m+n)，因此能把多项式xm+xn+ym+yn分解因式分解过程是xm+xn+ym+yn=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+y)一般地，如果把一个多项式的项适当分组，并提出公因式后，各组之间又出现新的公因式，那么这个多项式就可以用分组方法来分解因式【例3】将下列各式分解因式：(1)x3-x2+x-1；(2)x2+4(xy-1)+4y2【解答】(1)【解法1】x3-x2+x-1=x3-x2+(x-1)=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)x2+1【解法2】x3-x2+x-1=x3+x-x2+1=x x2+1-x2+1=x2+1(x-1)(2)x2+4(xy-1)+4y2=x2+4xy-4+4y2=x2+4xy+4y2-4=(x+2y)2-4=(x+2y+2)(x+2y-2)【注】本题第(2)小题的解法是先将多项式分组，再用公式法分解因式先将多项式分组后分解因式的方法称为分组分解法用这种方法分解因式，分组时应预见到下一步分解的可能性【例4】分解因式：x3+3x-4【解析】本题用前面学过的方法似乎均不奏效，若将其中一项拆成两项，就可考虑分组分解【解答】x3+3x-4=x3+3x-1-3=x3-1+(3x-3)=(x-1)x2+x+1+3(x-1)=(x-1)x2+x+4第 6 页课堂笔记【例5】已知x3-2x2y-xy2+2y3=0，xy0，化简：xz-2yz+1【解答】因为x3-2x2y-xy2+2y3=x2(x-2y)-y2(x-2y)=(x-2y)x2-y2=(x-2y)(x+y)(x-y)，所以(x-2y)(x+y)(x-y)=0又因为xy0，所以x+y0，x-y0，即只有x-2y=0从而xz-2yz+1=z(x-2y)+1=1习题1.21.对多项式 4x2+2x-y-y2用分组分解法分解因式，下面分组正确的是()A.4x2+2x-y+y2B.4x2+2x-y2-yC.4x2-y+2x-yD.4x2-y+(2x-y2)2.要使二次三项式x2-6x+m在整数范围内可分解，m为正整数，那么m的取值可以有()A.2个B.3个C.5个D.6个3.把多项式2ab+1-a2-b2分解因式，结果是()A.(a+b-1)(b-a+1)B.(a-b+1)(b-a+1)C.(a+b-1)(a-b+1)D.(a-b+1)(a-b-1)4.m4+m2+1=m4+-m2+1=m2+m2+5.将下列各式分解因式：(1)4x2-x-3；(2)3x2+2ax-a26.将下列各式分解因式：(1)x3-y3-x2y+xy2；(2)2a2-b2+ab-2a+b7.已知m=x-y，n=xy，试用m，n表示 x3+y328.当x=-1时，x3+2x2-5x-6=0请根据这一事实，将 x3+2x2-5x-6分解因式课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 7 页第一章测试题(满分为100分，考试时间45分钟)一、选择题(本题有6小题，每小题5分，共30分)1.多项式-3y2-2yx+x2分解因式的结果是()A.-(y+x)(3y+x)B.(x+y)(x-3y)C.-(y-x)(3y-x)D.(x+y)(3x-y)2.若a3-b3=3a2b-3ab2+1，其中a，b为实数，则a-b=()A.0B.-1C.1D.13.若多项式2x2+7x+m分解因式的结果中有因式 x+3，则此多项式分解因式的结果中另一因式为()A.2x-1B.2x+1C.x+1D.x-14.若a+1a=3，则a2+a3+a4+1a2+1a3+1a4=()A.7B.25C.47D.725.多项式4-x2-2xy-y2分解因式的结果是()A.(2+x+y)(2-x-y)B.(2+x+y)(2-x+y)C.(1+x-y)(4-x-y)D.(1-x+y)(4+x+y)6.若x-y-z=3，yz-xy-xz=3，则x2+y2+z2=()A.0B.3C.9D.-1二、填空题(本题有3小题，每小题8分，共24分)7.若8x3+12x2y2+6xy4+y6可分解为 2x+ym3，则m=8.若关于x的二次三项式ax2+3x-9的两个因式的和为3x，则a=9.x2+x+1x2+1x-4=1x+x+1x+x-三、解答题(本题有3小题，第10，11题各15分，第12题16分，共46分)10.分解因式：(1)x3-5x2+6x；(2)4m3+m-111.已知x2-x-1=0，求x5-x4-3x3+3x2+x的值12.已知a2-9x2+6xy-y2(a+3x)2-(ay+3xy)=1，求证：y=6x第 8 页课堂笔记第二章分式与根式第二章分式与根式2.1分式及其运算1.分式。