第二章行列式第七节.ppt

主要内容,非齐次线性方程组克拉默法则,第七节 克拉默 (Cramer) 法则,齐次线性方程组克拉默法则,现在我们来应用行列式解决线性方程组的问,题.,在这里只考虑方程个数与未知数的个数相等的,情形.,以后会看到，这是一个重要的情形.,至于更,一般的情形留到下一章讨论.,下面我们将得出与二,元和三元线性方程组相仿的公式.,一、非齐次线性方程组克拉默法则,定理 5 (克拉默法则) 如果线性方程组,的系数矩阵,的行列式,d = | A |  0,,那么线性方程组 (1) 有解，并且解是唯一的，解可,以通过系数表为,其中 dj 是把矩阵 A 中第 j 列换成方程组的常数项,b1, b2, …, bn 所成的矩阵的行列式，即,证明,1. 把方程组,首先来证明,把 (3) 代,入第 i 个方程，左端为,因为,简写为,的确是 (1) 的解.,所以,根据第六节的,有,这与第 i 个方程的右端一致.,也就是说,方程组,确为,的解.,2. 设 (c1, c2, … , cn) 是方程组,于是有 n 个恒等式,的代数余子式 A1k, A2k, … , Ank , 用它们分别乘以,中 n 个恒等式，有,的一个解，,这还是 n 个恒等式.,把它们加起来，即得,等式右端等于在行列式 d 按第 k 列的展开式中把 aik,分别换成 bi (i = 1, 2, … , n)，因此，它等于把行列式,d 中第 k 列换成 b1, b2, … , bn 所得的行列式，也就,是 dk .,再来看左端,由上节,中的公式,所以,dck = dk , k = 1, 2, … , n .,也就是,这就是说，如果(c1, c2, … , cn) 是方程组的一个解，,它必为,即解唯一.,证毕,例 1 任意输入一个未知数个数与方程个数相,等的线性方程组，判断其是否能由克拉默法则求解,若能，求其解.,应该注意，定理 5 所讨论的只是系数矩阵的行,列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；,至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章,的一般情形中一并讨论.,常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方,程组.,显然，齐次线性方程组总是有解的，因为,(0, 0, … , 0) 就是一个解，它称为零解.,对于齐次,线性方程组，我们关心的问题是，它除去零解以外,还有没有其他解，或者说，它有没有非零解.,对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方,程组，应用克拉默法则就有,定理 6 如果齐次线性方程组,的系数矩阵的行列式 | A |  0，那么它只有零解.,换句话说，如果它有非零解，则必有| A | = 0.,二、齐次线性方程组克拉默法则,例 2 讨论  为何值时, 线性方程组,有唯一解, 并求出其解.,定理 6 的证明，略.,解 方程组的系数矩阵的行列式,由此可知,当,时, d  0, 这时方,程组有唯一解.,单击这里求解,单击这里求解,单击这里求解,所以,单击这里求解,克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数,的明显关系，这一点在以后的许多问题的讨论中是,重要的.,但是用克拉默法则进行计算是不方便的，,因为按这一法则解一个 n 个未知量 n 个方程的线性,方程组就要计算 n + 1 个 n 级行列式，这个计算量,是很大的.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,,。