配套习题-抛物线之45度.docx

抛物线之等腰直角1．如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与直线 y= x+2 交于 C、D 两点，其中点 C 在 y 轴上，点 D 的坐标为（3， ）．（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是 y 轴右侧的抛物线上一个动点，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，交直线 CD 于点 F．若点 P 的横坐标为 m，设线段 PF 的长度为 y，求 y 与 m 之间的函数关系式，并直接写出自变量 m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在点 P，使∠PCF=45°？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）过 P 点作 CD 的垂线，垂足为 N，∵∠PCF=45°，∴△PCN 为等腰直角三角形，点 P 可视为点 C 绕点 N 顺时针旋转 90°而成，∵N 点在直线 CD 上，∴设 N（t， t+2），C（0，2），将 N 点平移至原点，N（0，0），则 C′（﹣t，﹣ t），将 C′点绕原点顺时针旋转 90°，则 P′（﹣ t，t），将 N′点平移至 N 点，则 P 平移后即为 P（ t， t+2），把 P 点代入抛物线，∴ ，∴t1=0（舍），t2=1，∴符合条件的点 P 的坐标为（ ， ）或（ ， ）．1抛物线之等腰直角2．如图，抛物线 y=ax2+bx﹣4a 经过 A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与 x 轴交于另一点 B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点 D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接 BD，点 P 为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点 P 的坐标．2．（3）过点 D 作直线 BF 的垂线，垂足为 H，设点 H（a，b），∵∠DBP=45°，∴△DHB 为等腰三角形，点 B 可视为点 D 绕点 H 顺时针旋转 90°而成，将点 H 平移至原点得点 H′，则点 D（3，4）平移后为 D′（3﹣a，4﹣b），将点 D′顺时针旋转 90°，则点 B′（4﹣b，a﹣3），将 H′平移至 H，则 B′平移后即为点 B（4+a﹣b，a+b﹣3），∵B（4，0），∴4+a﹣b=4，a+b﹣3=0，∴a=b= ，H（ ， ），∵P 在直线 BH 上，KBH= ，∴lBH：y=﹣ x ，∴ ，∴点 P 的坐标为（ ， ）．2抛物线之等腰直角3．如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y= x﹣3 交于 A、B 两点，其中点 A 在 y 轴上，点 B 坐标为（﹣4，﹣5），点 P 为 y 轴左侧的抛物线上一动点，过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C，交 AB 于点 D．（1）求抛物线的解析式；（2）以 O，A，P，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点 P 运动到直线 AB 下方某一处时，过点 P 作 PM⊥AB，垂足为 M，连接 PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点 P 的坐标．4．如图，抛物线 y=ax2+bx﹣5（a≠0）与 x 轴交于点 A（﹣5，0）和点 B（3，0），与 y 轴交于点 C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点 E 为 x 轴下方抛物线上的一动点，当 S△ABE=S△ABC 时，求点 E 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点 P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由．3抛物线之等腰直角5．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 y=ax2+2xa+c 经过 A（﹣4，0），B（0，4）两点，与x 轴交于另一点 C，直线 y=x+5 与 x 轴交于点 D，与 y 轴交于点 E．（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是第二象限抛物线上的一个动点，连接 EP，过点 E 作 EP 的垂线 l，在 l 上截取线段 EF，使 EF=EP，且点 F 在第一象限，过点 F 作 FM⊥x 轴于点 M，设点 P 的横坐标为 t，线段 FM 的长度为 d，求 d 与 t 之间的函数关系式（不要求写出自变量 t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点 E 作 EH⊥ED 交 MF 的延长线于点 H，连接 DH，点 G 为 DH 的中点，当直线PG 经过 AC 的中点 Q 时，求点 F 的坐标．6．已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（﹣6，0）、B（2，0）和 C（0，3），点 D 是该抛物线的顶点．AC、OD相交于点 M．（1）求点 D 的坐标；（2）在 x 轴下方的平面内是否存在点 N，使△DBN 与△ADM 全等？若存在，请求出该点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上求点 P 的坐标，使∠DOP=45°（直接写出结果）．4抛物线之等腰直角7．如图，已知抛物线 y= x2+bx 与直线 y=2x 交于点 O（0，0），A（a，12）．点 B 是抛物线上 O，A 之间的一个动点，过点 B 分别作 x 轴、y 轴的平行线与直线 OA 交于点 C，E．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点 C 为 OA 的中点，求 BC 的长；（3）以 BC，BE 为边构造矩形 BCDE，设点 D 的坐标为（m，n），求出 m，n 之间的关系式．（4）将射线 OA 绕原点旋转 45°并与抛物线交于点 P，求出 P 点坐标．8．如图，折叠矩形 OABC 的一边 BC，使点 C 落在 OA 边的点 D 处，已知折痕 BE=5，且  = ，以 O为原点，OA 所在的直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线 l：y=﹣x2+ x+c 经过点 E，且与 AB 边相交于点 F．（1）求证：△ABD∽△ODE；（2）若 M 是 BE 的中点，连接 MF，求证：MF⊥BD；P（3） 是线段 BC 上一点，点 Q 在抛物线 l 上，且始终满足 PD⊥DQ，在点 P 运动过程中，能否使得 PD=DQ？若能，求出所有符合条件的 Q 点坐标；若不能，请说明理由．5抛物线之等腰直角9．如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点 C 的坐标为（0，﹣2），交 x 轴于 A、B 两点，其中 A（﹣1，0），直线 l：x=m（m＞1）与 x 轴交于 D．（1）求二次函数的解析式和 B 的坐标；（2）在直线 l 上找点 P（P 在第一象限），使得以 P、D、B 为顶点的三角形与以 B、C、O 为顶点的三角形相似，求点 P 的坐标（用含 m 的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点，使 BPQ 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图，二次函数 y=ax2+bx（a＜0）的图象过坐标原点 O，与 x 轴的负半轴交于点 A，过 A 点的直线与 y轴交于 B，与二次函数的图象交于另一点 C，且 C 点的横坐标为﹣1，AC：BC=3：1．（1）求点 A 的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为 F，其对称轴与直线 AB 及 x 轴分别交于点 D 和点 E，若△FCD 与△AED 相似，求此二次函数的关系式．6抛物线之等腰直角11．如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下，与 x 轴交于点 A（﹣3，0）和点 B（1，0）．与 y 轴交于点 C，顶点为 D．（1）求顶点 D 的坐标．（用含 a 的代数式表示）；（2）若△ACD 的面积为 3．①求抛物线的解析式；②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点 P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．．如图， ABC 中，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，BC∥x 轴，AB 平分∠CAO．抛物线 y=ax2﹣5ax+4经过△ABC 的三个顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）正方形 EFGH 的顶点 E 段 AB 上，顶点 F 在对称轴右侧的抛物线上，边 GH 在 x 轴上，求正方形EFGH 的边长；（3）设直线 AB 与 y 轴的交点为 D，在 x 轴上是否存在点 P，使∠DPB=45°？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．7抛物线之等腰直角13．已知：如图 1，抛物线经过点 O、A、B 三点，四边形 OABC 是直角梯形，其中点 A 在 x 轴上，点 C 在y 轴上，BC∥OA，A（12，0）、B（4，8）．（1）求抛物线所对应的函数关系式；（2）若 D 为 OA 的中点，动点 P 自 A 点出发沿 A→B→C→O 的路线移动，速度为每秒 1 个单位，移动时间记为 t 秒．几秒钟后线段 PD 将梯形 OABC 的面积分成 1﹕3 两部分？并求出此时 P 点的坐标；（3）如图 2，作△OBC 的外接圆 O′，点 Q 是抛物线上点 A、B 之间的动点，连接 OQ 交⊙O′于点 M，交AB 于点 N．当∠BOQ=45°时，求线段 MN 的长．。