第21章二次根式—二次根式概念区分01.pdf

ECNU LEX 第 1页 共 8 页第 21 章二次根式—二次根式概念区分 01Lex Li 当化简含有和的式子时，必须正确理解和应用二次根式的两个重要公式．公式一：公式二：公式一要认清是是算术平方根，因此，， 左边的运算顺序是先求的算术平方根，再取平方．公式二要认清是（非负数）的算术平方根，因此可以取任意实数，左边的运算顺序是：先平方再开方取算术平方根， 所以是一个非负实数，为了正确地表达不能是负数，所以结果用表示．【例 1】式子与比较，正确的结论是（）A．B．（时成立）C．当为正数时D．当为有理数时ECNU LEX 第 2页 共 8 页【解】 ∵， 只有在的条件下成立，而． 欲使， 只有，等式才成立，所以应选．【例 2】下列等式是否成立？为什么？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（）【解】（ 1）根据公式（）∵，∴等式成立（2） ∵， 不符合公式（） 的条件，所以不成立，也可以说：是无意义的式子，所以等式不成立．（3）根据公式∴．故等式成立（4）根据公式，故等式不成立．（5）∵，∴成立（6）∵∴不成立，也可以说：∵而，∴等式不成立．ECNU LEX 第 3页 共 8 页（7）由公式（）反之，只有一个非负数才能写成这个数的算术平方根的平方，即只有当时，，∴不一定成立．（8）∵，∴，当时，有∴（时成立）【解后评注】通过上面两个例题注意应用公式一，的条件是，而公式二的条件是任意实数，但这两个公式的结果都是非负数．【例 3】填空：（1）中，的取值范围是 ___________ ；（2），的取值范围是 ___________ ；（3），的取值范围是 ___________ ；（4），的取值范围是 ___________ ；（5），的取值范围是 ___________ ．【解】（ 1）∵不论取任何实数，，所以可取任何实数，（2） ∵（） ∴式中的相当于公式中的， 应有， 因此，（3） 解法 1： ∵中， ∴， 而的结果必是非负数， ∴，由此可得解法 2：当时，有而已知ECNU LEX 第 4页 共 8 页∴，由此可得．（4）∵，∴．故的取值范围是（5）∵，∴，故的取值范围是．【例 4】化简下列各式（1）（）；（ 2）（）（3）；（4）（5）；（6）【解】（ 1）当时，，因此．（2）当时，，所以（3）∵，∴，因此：ECNU LEX 第 5页 共 8 页（4）∵同样而，∴（5）∵∴，，，因此：【方法导引】（ 6）应在全体实数范围内讨论， 且的 “零点” 是 “” ，的 “零点”是 “” ，所以－ 1 和 3 把数轴分为，，三个区间进行讨论．ECNU LEX 第 6页 共 8 页当时，原式当时，原式当时，原式综合以上结果可得：【例 5】已知，化简．【解】∵，∴∵，∴∴，，于是原式【解后评注】上面几个例子帮助我们正确而深刻地理解二次根式的两个重要公式的应用，尤其是时应转化为绝对值问题，即这样就把求算术根的问题转化为我们熟悉的求绝对值问题．【例 6】在实数范围内因式分解（1）；（2）；（3）ECNU LEX 第 7页 共 8 页【方法导引】由公式一，，反之，可得当时，【解】（ 1）（2）（3）∵，∴∴，于是【解后评注】对于公式的逆用，不要忘记条件，即只有一个非负数才能写成它的算术平方根的平方形式．【例 7】把下面各式中根号外的因式适当改变后，移到根号内．（1）（2）（3）（，）（4）（5）【方法导引】由公式逆用：，即只有非负数才能平方后进入根号内【解】（ 1）（2）（3）（，）∵，∴，，于是ECNU LEX 第 8页 共 8 页（4）由二次根式定义可知：，∴则，∴（5）由二次根式的意义，，，∴，∴【解后评注】对于公式的逆用，注意它的结果是非负数，所以，即只有非负数才能由根号外因数或因式平方后移到根号内．。