新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）11 导数中的不等式证明问题（原卷版）.doc

培优专题11 导数中的不等式证明问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、不等式的证明证明不等式的过程中常使用构造法，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如①对数形式：x≥1＋ln x（x＞0），当且仅当x＝1时，等号成立.②指数形式：ex≥x＋1（x∈R），当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1＋ln x（x＞0，且x≠1）.(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．　【常用结论】1.破解含双参不等式证明题的3个关键点（1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.（2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.（3）回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.总结：双变量相关问题，解题策略是减少变量，方式为一个变量用另一个变量表示，或将两变量的整体换元，如下列形式等常见形式2.常见不等式（大题使用需要证明）①，，，②，；；③；；④；⑤；⑥；；，二、题型精讲精练【典例1】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明【典例2】 求证：当时，【典例3】已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若、为函数的两个极值点，证明：．【题型训练1-刷真题】一、解答题1．设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．2．设a，b为实数，且，函数（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.(注：是自然对数的底数)3．已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：（ⅰ）；（ⅱ）．【题型训练2-刷模拟】1．已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：.2．已知函数.(1)讨论函数在上的零点个数；(2)当且时，记，探究与1的大小关系，并说明理由.3．已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)证明：当时，.4．已知函数.(1)若，求的极值；(2)，若函数有两个零点，且，求证：.5．已知函数.(1)判断的导函数在上零点的个数，并说明理由；(2)证明：当时，.注：.6．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当，且时，．7．已知函数.(1)讨论的单调性.(2)若存在两个零点，且曲线在和处的切线交于点.①求实数的取值范围；②证明：.8．已知函数．(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；(2)当时，证明：，．9．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当，是方程的两根，，证明：．10．已知函数，(1)试判断函数在上是否存在极值.若存在，说出是极大值还是极小值；若不存在，说明理由.(2)设，若，证明：不等式在上恒成立.11．已知函数，其中．(1)若有两个零点，求的取值范围；(2)若，求的取值范围．12．已知函数．(1)试问曲线是否存在过原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．(2)证明：．（参考数据：）。