七上实数经典例习题及习题.doc

　知识点总结及题型考点一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数正整数又叫自然数正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；（3）有特定结构的数，如…等；（4）某些三角函数，如sin60o等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立倒数等于本身的数是1和-1零没有倒数考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）1、平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根正数a的平方根记做“”2、算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零 （0） ；注意的双重非负性：-（<0） 03、立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面考点四、科学记数法和近似数 （3—6分）1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

2、科学记数法把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法考点五、实数大小的比较 （3分）1、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大2）求差比较：设a、b是实数，（3）求商比较法：设a、b是两正实数，（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则5）平方法：设a、b是两负实数，则考点六、实数的运算 （做题的基础，分值相当大）1、加法交换律 2、加法结合律 3、乘法交换律 4、乘法结合律 5、乘法对加法的分配律 6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定 实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二能为运算，乘方为三级运算同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行 7、有理数除法运算法则就什么 两有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

零除以任何一个不为零的数，商都是零 8、什么叫有理数的乘方幂底数指数 相同因数相乘积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数记作: an 9、有理数乘方运算的法则是什么 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数零的任何正整数幂都是零 10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么 去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反 经典例题类型一．有关概念的识别　　1．下面几个数： ，…，，3π，，，其中，无理数的个数有（ ）　　A、1　　　 B、2　　　 C、3 　　　D、4　　解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，…，3π，是无理数　　故选C　　举一反三：　　【变式1】下列说法中正确的是（ ）　　A、的平方根是±3　 B、1的立方根是±1　 C、=±1 　D、是5的平方根的相反数　　【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，　　　　　　∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．　　　　　　∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．　　【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A、1　　　 B、　　　 C、 　　　D、　　【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．　　【变式3】 　　【答案】∵π= …，∴9＜3π＜10　　　　　　因此3π-9＞0，3π-10＜0　　　　　　∴ 类型二．计算类型题　　2．设，则下列结论正确的是（ ） 　　A. 　　　　　　B. 　　C. 　　　　　　D. 　　解析：（估算）因为，所以选B　　举一反三：　　【变式1】1）的算术平方根是__________；平方根是） -27立方根是__________. 3）___________， ___________，___________. 　　【答案】1）；.2）-3. 3）， ， 　　【变式2】求下列各式中的　　（1） 　　　（2）　　　　（3）　　【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4类型三．数形结合 　　3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______　　解析：在数轴上找到A、B两点，　　举一反三：　　【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（ ）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．－1 B．1－ C．2－ D．－2　　【答案】选C　　[变式2] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示：　　　　　　　　　　　　 　　　　　　化简 　　【答案】：类型四．实数绝对值的应用　　4．化简下列各式：　　(1) ||　　　(2) |π|　　(3) |-| 　　　(4) |x-|x-3|| (x≤3)　　(5) |x2+6x+10|　　分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。

　　解：(1) ∵=…＜　　 　　　 ∴||=　　　　(2) ∵π=…＜　　 　　　 ∴|π|=π　　　　(3) ∵＜, ∴|-|=-　　　　(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,　　 　　　 ∴|x-|x-3||=|x-(3-x)| 　　 　　　 　　　　　 =|2x-3| = 　　说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用　　(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|　　　　∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0　　　　∴|x2+6x+10|= x2+6x+10　　举一反三：　　【变式1】化简：　　【答案】=+-=类型五．实数非负性的应用　　5．已知：=0，求实数a, b的值　　分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组 从而求出a, b的值　　解：由题意得 　　　　由(2)得 a2=49 ∴a=±7　　　　由(3)得 a>-7，∴a=-7不合题意舍去　　　　∴只取a=7　　　　把a=7代入(1)得b=3a=21　　　　∴a=7, b=21为所求。

　　举一反三：　　【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值　　解：∵(x-6)2++|y+2z|=0　　　　且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0,　　　　几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0　　　　∴ 解这个方程组得 　　　　∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65　　【变式2】已知那么a+b-c的值为___________　　【答案】初中阶段的三个非负数： ，　　　　　　a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2类型六．实数应用题　　6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm　　解：设新正方形边长为xcm，　　　　根据题意得 x2=112+13×8　　　　∴x2=225　　　　∴x=±15　　　　∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，　　　　∴只取x=15(cm)　　答：新的正方形边长应取15cm　　举一反三：　　【变式1】拼一拼，画一画： 请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。

4个长方形拼图时不重叠） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么 　　（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积　　　　 多24cm2，求中间小正方形的边长.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：　　　　　　　 ，所以面积为=　　　　　　　 大正方形的面积=，　　　　　　　 一个长方形的面积=　　　　　　　 所以，　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 答：中间的小正方形的面积，　　　　　　　　　发现的规律是：（或）　　　 　(2) 大正方形的边长：，小正方形的边长：　　　　　　 ，即 ，　　　　　　 又 大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2 　　　　　　 所以有，　　　　　　 化简得： 　　　　　　 将代入，得：　　　　　　 cm　　　　　　 答：中间小正方形的边长2.5 cm类型七．易错题　　7．判断下列说法是否正确　　（1）的算术平方根是-3；　　　（2）的平方根是±15.　　（3）当x=0或2时，　　　（4）是分数　　解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根。