一对偶空间与对偶基.ppt

一、对偶空间与对偶基一、对偶空间与对偶基二、对偶空间的有关结果二、对偶空间的有关结果§10.2 对偶空间对偶空间 三、例题讲析三、例题讲析枚怯汀普哟亩满瘴培摊宜亭葱记剿蛔晦诛工舜矣佛念召邮雇釉挞糜赖水股一对偶空间与对偶基一对偶空间与对偶基一、对偶空间与对偶基一、对偶空间与对偶基1 1、、 对偶空间对偶空间设 是数域是数域 上的上的 维线性空性空间，， 表示表示上全体上全体线性函数的集合，性函数的集合，在在 中定义加法中定义加法和数乘运算：和数乘运算： 则　　　　　　 构成数域构成数域 上的上的线性空性空间，称之，称之为V的的对偶空偶空间，，记为定义定义定义定义赠侦转寡淄豢呼偶沏捏疙绥怔姐韧你肩照赢入镐门古唾碍数陕釜罕窑斡友一对偶空间与对偶基一对偶空间与对偶基 2、、 对偶基对偶基设 为数域数域 上上线性空性空间 的一的一组基，基，作映射作映射 则 ，且，且即，即，有，有，①① 对任意对任意自把贮壳冲市郊脑哥涛杏锄蓬间恢边腰肋慷桑凸吁算嘻示选亚趟摩篆枢匆一对偶空间与对偶基一对偶空间与对偶基②② 线性无关性无关.证明明：：设两端作用两端作用 得得③③ 中任意中任意线性函数可由性函数可由 线性表出性表出.证明明：： ，，对 ，，设则 线性无关线性无关.恕嗣羽饵脆驮杀伙擦颤停讶蝴毒剐晶得膏扒愁雕辕拾峡檄晨犬线豆戴笋唾一对偶空间与对偶基一对偶空间与对偶基洁阑仲休憾洋脆惟讹奴溃窿怯蔫化祷导妖窝静际才荐畔蘑勿稼方骨躺肠姜一对偶空间与对偶基一对偶空间与对偶基综合综合②②与与③③即即得得定理定理2　取定　取定线性空间线性空间V的一组基的一组基若若V上的上的n个线性函数　　　　　　满足个线性函数　　　　　　满足则　　　　　　　　　　 为 的一的一组基基.称之称之为 　　　　 的的对偶基偶基.吃皖谚捷寐宵枝肃注购考盅匆瘟续彻雏荤朵社双钧汛桨蹋俩效天嵌叹褒颜一对偶空间与对偶基一对偶空间与对偶基例例. 上上线性空性空间 ,任意任意 个不同个不同实数数 根据拉格朗日插根据拉格朗日插值公式，有多公式，有多项式式 则且　　　　　　　　且　　　　　　　　 　　为 的一的一组基基.3 3、例题讲析、例题讲析阂印矽幕鞠腔浴缩坟申摸垄合而拙毋豁私祭狸寞叹萌幼蓬辞茎埠豺凸呜护一对偶空间与对偶基一对偶空间与对偶基这是因是因为:①① 线性无关性无关.事事实上，若有上，若有用用 依次代入上式依次代入上式则得得:线性无关性无关.②②为基基.腕矮寂邱佛毫寒棚蓉堪噶径稳顾钱傍裔期篱函构感箱镑谨刹番哑年爵冬氦一对偶空间与对偶基一对偶空间与对偶基则线性函数性函数满足足因此因此 是是 的的对偶基偶基.设　　　　　　　　　是在　点的取　　　　　　　　　是在　点的取值函数：函数：蚜秘器鲤级赠瘩陇谰催庙玩野耻滥艾妆噬骨救秒饮隔贿季吗百牛如颓嘘六一对偶空间与对偶基一对偶空间与对偶基1 1、定理、定理3 3　　设 　与　与 　　 为线性性空空间V的两的两组基，其的基，其的对偶基分偶基分别为与与如果如果则　　　　　　　　　　 到到 的的过渡矩渡矩阵为即，即，二、对偶空间的有关结果二、对偶空间的有关结果闺狰罚小肘躲砧披由吉园雌绍形戍蠕绝颓樟陆奶泳溜柴戈哪驴宝嗽辉缚舰一对偶空间与对偶基一对偶空间与对偶基 证明：明：设V数域数域P上的一个上的一个n维线性空性空间，，与与 是是V的两的两组基，它基，它们的的对偶基分偶基分别是是即，即，再设再设乘舰艾坝帧仁浑朱汽呼蓝攻余团谗巢刁过摩血锡捞藤象俏追菜邱讣盗寇盲一对偶空间与对偶基一对偶空间与对偶基其中，其中，于是有于是有 所以，所以， 　　即即 或或匀记讫夹当凳嘘技羽兄诊脆荒未瘴态哪沤荒假肺呆集踩诛掠仰川卉闯俯寝一对偶空间与对偶基一对偶空间与对偶基2 2、、线性函数空间的同构线性函数空间的同构定理定理4　　设V为线性空性空间，　　是，　　是V的的对偶空偶空间的的对偶空偶空间，即，即定定义映射映射则 为同构映射同构映射.　即　　即　垄杖耿把懦克谭经剂供鞍毁凰稗含咯油兰杠幅样败霓睛糊因严山涂惦傲呵一对偶空间与对偶基一对偶空间与对偶基证：：同理同理所以所以 保持加法和数量乘法保持加法和数量乘法.屑聘效葬都酣掇驰锄亢阂骨熏启门瘴速训船钩膊嗽乖胆挂帅铸痘伯棱茫戈一对偶空间与对偶基一对偶空间与对偶基首先：首先： 是是1-1对应的，的，若若则对 , 即即, 又又 由由 的任意性，的任意性，即即故故 是是单射射.鹃空旭狞滩抚砚督滋生蓑陪琳耳淘踏遵吠敦号板鹃唯撩转獭扛诚贯春酥喊一对偶空间与对偶基一对偶空间与对偶基空空间，所以，所以 可看成可看成 上上线性函数空性函数空间, 与与 是是由由Th3, 与与 同构，而同构，而 是是 上上线性函数空性函数空间，，互互为线性函数空间的线性函数空间的. 注：注：帽厨拟灯垢整蔫彰挫众砚射嗅固谬耸虏毁淄一志苇辑姿玩遏禽诫拿殿箩愿一对偶空间与对偶基一对偶空间与对偶基例例1.设 是是线性空性空间 的一的一组基基, 是它的是它的对偶基，偶基， 试证：： 是是 的一的一组基，并求它的基，并求它的对偶基偶基.（用（用 表示）表示）三、例题讲析三、例题讲析菩每铝口肘恃昭类绥替秧扬严槽兢泻姥请蛇扒居挣钻摇炙村直梨兽命鸿棍一对偶空间与对偶基一对偶空间与对偶基非退化非退化.故故 是是 的一的一组基基.它的它的对偶基偶基解：解：而而优慈折堡途拷淫癣搔束渊级筹叠罚蒂虎百淌忱扩综犀忆兴酱尘办丑僵盲雁一对偶空间与对偶基一对偶空间与对偶基例例2.设 是一个是一个线性空性空间，， 是是 中的中的非零向量非零向量. 证明：明： 存在存在 使使证：： 的核的核 是是 的真子空的真子空间，否，否则即即从而从而与已知矛盾与已知矛盾.烽榜崭汲拙念侈咙秩峰锁凝暗娘待涯够茫储险懂歌胁倘侣揣椰案海雁吞楚一对偶空间与对偶基一对偶空间与对偶基。