2022年导数与微分部分考研真题及解.pdf

第二章导数与微分2.1 导数的概念01.1)设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 可导的充要条件为（ B ）（A）01lim(1cosh)hfh存在（B）01lim(1)hhfeh存在（C）01lim(sinh)hf hh存在（D）01lim(2 )( )hfhf hh存在03.3) 设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f存在，则函数xxfxg)()(A) 在 x=0 处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0. (C) 在 x=0 处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. D 03.4) 设函数)(1)(3xxxf，其中)(x在 x=1 处连续，则0) 1(是 f(x)在 x=1 处可导的 A (A) 充分必要条件 . （B）必要但非充分条件. (C) 充分但非必要条件. (D) 既非充分也非必要条件. 05.12)设函数nnnxxf31lim)(，则 f(x)在),(内 C (A) 处处可导 . (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 05.34) 以下四个命题中，正确的是 C (A) 若)(xf在（ 0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界 . (B) 若)(xf在（ 0，1）内连续，则f(x)在（ 0，1）内有界 . (C) 若)(xf在（ 0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界 . (D) 若)(xf在（ 0，1）内有界，则)(xf在（ 0，1）内有界 . (取 f(x)=x1，xxf)(反例排除 ) 06.34) 设函数fx在 x=0 处连续 ,且220lim1nfhh,则（C ）(A)000ff且存在 (B)010ff且存在(C)000ff且存在(D)010ff且存在07.1234) 设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是：（ D ） （反例：( )f xx）(A) 若0( )limxf xx存在，则 f(0)=0. (B) 若0( )()limxf xfxx存在，则 f(0)=0. (C) 若0( )limxf xx存在，则(0)f存在. (D) 若0( )()limxf xfxx存在，则(0)f存在名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 04.2) 设函数( )f x在（,）上有定义 , 在区间0, 2上, 2( )(4)f xx x, 若对任意的x都满足( )(2)f xk f x, 其中k为常数 . ( ) 写出( )f x在 2, 0上的表达式 ; () 问k为何值时 , ( )f x在0 x处可导 . 【详解 】( ) 当20 x, 即022x时, ( )(2)f xk f x2(2)(2)4(2)(4)k xxkx xx. ( ) 由题设知(0)0f. 200( )(0)(4)(0)limlim40 xxf xfx xfxx00( )(0)(2)(4)(0)limlim80 xxf xfkx xxfkxx. 令(0)(0)ff, 得12k. 即当12k时, ( )f x在0 x处可导 . 2.2 导数的运算法则06.2)设函数( )g x 可微 ,1( )( ),(1)1,(1)2,g xh xehg则 g(1)等于 C （A）ln31（B）ln31（C）ln21（D）ln2103.3) 已知曲线bxaxy233与 x 轴相切，则2b可以通过 a 表示为2b64a. 03.3) 设,0,0,0,1cos)(xxxxxf若若其导函数在x=0 处连续，则的取值范围是2. 04.1) 曲线 y=ln x 上与直线1yx垂直的切线方程为1xy. 04.4) 设1lnarctan22xxxeeey，则1121eedxdyx. 05.2) 设xxy)sin1 (，则xdy=dx. 09 农）设2( )ln(4cos 2 )f xxx，则()8f=4110.2)已知一个长方形的长l 以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当12cml，5cmw时，它的对角线增加速率为3cm/s名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2.3 高阶导数06.34) 设函数( )2f xx在的某领域内可导,且,21fxfxef,则2f32e（复合求高阶导）07.234)设函数1,23yx则( )(0)ny=12( 1)!() .33nnn10.2)函数ln(12 )yx在0 x处的 n 阶导数( )(0)ny2 (1)!nn2.4 隐函数导数由参数方程确定的函数的导数01.2)设函数( )yf x由方程2cos()1x yexye所确定，则曲线( )yf x在点(0,1)处的法线方程为220 xy03.2) 设函数y=f(x)由方程4ln2yxxy所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是x-y=0 .08.1)曲线sinln()xyyxx在点(0,1)处的切线方程是1yx02.1)已知函数( )yy x由方程2610yexyx确定，则(0)y-2 09.2) 设( )yy x是方程1yxyex确定的隐函数，则202|xdydx= -3 06.2) 设函数( )yy x 由方程1yyxe确定，则0 xdydxe02.2)已知曲线的极坐标方程是1cosr， 求曲线上对应于6处的切线与法线的直角坐标方程 . 07.2) 曲线2coscos,1 sinxttyt上对应于4t的点处的法线斜率为12.03.2) 设函数 y=y(x)由参数方程)1(,21ln2112tduueytxtu所确定，求.922xdxyd【详解 】由tetttedtdytln2122ln21ln21，tdtdx4，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 得,)ln21(24ln212tettetdtdxdtdydxdy所以dtdxdxdydtddxyd1)(22=ttte412)ln21(122=.)ln21(422tte当 x=9 时，由221tx及 t1 得 t=2, 故.)2ln21(16)ln21 (42222922ettedxydtx07.2) 已知函数f(u)具有二阶导数，且(0)1f，函数y=y(x)由方程11yyxe所确定，设(lnsin )zfyx，求2002,.xxdzd zdxdx【详解 】(lnsin) (cos )dzyfyxxdxy，22222(cos )(sin)d zyy yyfxfxdxyy在11yyxe中, 令 x= 0 得 y=1 . 而由11yyxe两边对 x 求导得110yyyexey再对 x 求导得111210yyyyyeyeyxeyxey将 x=0, y=1 代入上面两式得(0)1,(0)2.yy故0(0)(00)0,xdzfdx202(0) (21)1.xd zfdx10.2)设函数( )yf x由参数方程22( )xttyt，(1)t所确定，其中( ) t具有 2 阶导数，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 且5(1),2(1)6,已知2234(1)d ydxt，求函数( ) t. 2.5 微分及其应用02.2)设函数( )f u可导，2()yf x当自变量x 在1x处取增量0.1x时，相应的函数增量y的线性主部为0.1，则(1)f（ D ）（A）-1. （ B）0.1. （ C）1. （D）0.5. 06.1234) 设函数( )yf x具有二阶导数， 且( )0,( )0fxfx，x为自变量x在0 x处的增量，y与dy分别为( )f x在点0 x处对应的增量与微分，若0 x，则 A (A)0.dyy（B）0.ydy(C) 0.ydy（D）0.dyy弹性07.34)设某商品的需求函数为1602QP，其中 Q，P 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ D ）(A) 10. (B) 20. (C) 30. (D) 40. 01.34)设生产函数为,QAL K其中Q是产出量，L是劳动投入量，K是资本投入量， 而,A均为大于零的参数，则当1Q时K关于L的弹性为09.3) 设某产品的需求函数为Q=Q(P)，其对应价格P 的弹性=0.2，则当需求量为1000 件时，价格增加1 元会使产品收益增加12000 元10.3)设某商品的收益函数为()R p，收益弹性为31p，其中p 为价格，且(1)1R，则()R p313ppe02.4)设某商品需求量Q是价格 p的单调减少函数：(), p其需求弹性2220.192pp（1）设R为总收益函数，证明(1)dRQdp.（2）求6p时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义. 04.34) 设某商品的需求函数为Q = 100 5P，其中价格P (0 , 20)，Q 为需求量 . (I) 求需求量对价格的弹性dE(dE 0)；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - (II) 推导)1 (dEQdPdR(其中 R 为收益 )，并用弹性dE说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. 【详解 】(I) PPdPdPEd20. (II) 由 R = PQ，得)1()1(dEQdPdPQdPdQPQdPdR. 又由120PPEd，得 P = 10. 当 10 P 1，于是0dPdR，故当 10 P 20 时，降低价格反而使收益增加. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - 。