一元线性回归的F检验.docx

一元线性回归效果的显著性检验（F检验法）前面我们给出了一元回归直线方程的求解即一元线性回归中未知参数的最小二乘估 计.那么这条回归直线对观测数据（x，y） （i=1,2,・・・,n）拟合的程度如何？是否真正体现x、y 之间的这种线性关系，这就需要对回归效果的好坏进行检验.这种检验是评价方程对总体的 代表性的所谓线性关系的显著性检验.检验x与y是否具有线性关系，以及它们之间的密切 程度，这就是回归直线方程的效果检验所要解决的问题.由一元线性回归的数学模型可知，一元线性回归的数学模型是y=a+bx+ £ £ 〜N（0,2）即随机变量y的数学期望是自变量x的线性函数，然而这样的假设是否合理呢？若在 y=a+bx+ £中b=0，说明x的变化对y没有影响，这时回归方程？=『+欣就不能近似地 描述变量x与y之间的关系，因此为了判断x与y之间是否存性关系，只需检验假 设：H0： b=0此问题也称为线性回归方程的显著性检验问题.我们要根据观测数据（x’y） （i=1,2…,n）作出拒绝或接受原假设b=0的判断.拒绝原假 设才能确认我们的线性回归模型是合理的，接受原假设表示不能认为x、y之间有线性 相关关系.如何构诰统计量来检验这个假设问题呢？我们先把变量y的离差平方和M — 23=1予以分解.（点击此处看分解过程=E饥-勾、E ◎厂歹）'1-1 ]-i=Q+Uu = XCy■4 — n _ 入其中 2=12=1 3 是回归值■与其平均值的离差平方和，而力为,可以把'广'看成是由于x的变化而引起的y值变化，因此称之为回归平方和;1 = 23.-新反映的是观测值与回归值之间的离差平方和，它表示除X对y的线性f=l影响之外的一切因素引起的y值的变化，称之为误差平方和或残差平方和."=%厂折而 3=1■破(矿.]=1.Q = L^-U = L^~bL^• •数学上我们可以证明，当％为真时，统计量口/(即—2) wi 勺、二 l j 〜F(1, n-2).对于给定的显著性水平a ,查自由度为(1,n-2)的『分布临界值表,可得临界值Fa(1, n-2) 使得叩任凡(顷-功=艾.其拒绝域为 W={F>Fa(1, n-2)}.例在某大学一年级新生体检表中，随机抽取10张，得到10名大学生的身高(x)和体 重(y)的数据如下,试求体重关于身高的线性回归方程，并检验回归方程的显著性(a =0.05)?身高X /cm1体重y/kg身高x /cm1体重y/kg16251166591705416755166521706015847173571746316854解.根据表中数据，列出下列计算表.回归直线方程的计算步骤(I)ixi•Vi1162512624426018262217054289002916918031665227556270486324158472496422097426517463302763969109626166592755634819794716755278893025918581706028900360010200917357299293249986110168542822429169072S16745522804383067092574.兀=一J-X1674= 1574,1010— ■^552 = 55.2 1010 1 10 1=y 对—-L（y 西扩=230438 -±X1S743 =210.4,人'10 S ' 10 ,10＞110i-lH 10 10 |一布E 呜）＜!＞）=实女4-话X1&74 ¥552 = 162,1U i-l i-L 1」1 10 1—（V 肉'）"=3口&7。

— 一工兆疽=139.6£ 蚓 1S9.2"玲=切0.S04 ,10 € 1 10a = y-bx = 55.2-O.S04x 167.4 = -79.39 .因此线性回归方程为:j? = -79.39+0.804x,下面我们来检验身高x与体重y之间是否具有显著的线性关系.根据题意，我们作假设H b=0 . n=10,U = ^ =0.804^169.2=136.037,<2 = ^-^ = 199.(5-136.037=63.^3,0伊—2) 63.563/'8对于给定的a =0.05，查F分布临界值表得到临界值:E1，8)=5.32.显然，F0=19.12> F005(1, 8)=5.32，故拒绝H0,即由F检验法可知，身高x与体重y 之间的线性关系是显著的，且它们之间的关系为：户=顷.买+ 口.8地.。