数学必修一第一单元讲练.docx

高一数学必修高一数学必修 1 1 各章知识点总结各章知识点总结第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合中的元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山(反例：班里最漂亮的姑娘) (2) 元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印 度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法1） 列举法：{a,b,c……} 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内表示集合的方法{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn 图: 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A 是 B 的一部分， ；（2）A 与 B 是同一BA  集合。

反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA 2． “相等”关系：A=B (5≥5，且 5≤5，则 5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集AA ②真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作AB(或 BA) ③如果 AB, BC ,那么 AC ④ 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集 有 n 个元素的集合，含有 2n个子集，2n-1个真子集 三、集合的运算 运算 类型交 集并 集补 集定 义由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集， 由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R的交集．记作AB（读作‘A 交IB’ ） ，即AB=｛x|xA，I且 xB｝ ．A,B 的并集．记作：AB（读作‘A 并 B’ ） ，U即 AB ={x|xA，U或 xB})．合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作，即ACSCSA=},|{AxSxx且韦 恩 图 示AB图 1AB图 2性性 质质AA=A IAΦ=ΦIAB=BAIIABAIABBIAA=AUAΦ=AUAB=BAUUABＡUABBU(CuA) (CuB)I= Cu (AB)U(CuA) (CuB)U= Cu(AB)IA (CuA)=UUA (CuA)= Φ．I德摩根定律：  CCCCCCUUUUUUABABABABUIIU，例题： 1.下列四组对象，能构成集合的是 （（ ）） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a，b，c }的真子集共有 个 3.若集合 M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则 M 与 N 的关系是 .4. (2011 年湖南)设全集 U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩∁UN＝{2,4}，则 N＝( ) A．{1,2,3} B．{1,3,5} C．{1,4,5} D．{2,3,4}5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有 40 人， 化学实验做得正确得有 31 人，两种实验都做错得有 4 人，则这两种实验都 做对的有 人。

6. 用描述法表示右图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合 M= . 7.已知集合 A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若 B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求 m 的值5， -2S A三、函数的有关概念三、函数的有关概念 1.1.函数的概念函数的概念 设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于 集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对 应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A． 其中，x 叫做自变量自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域定义域；与 x 的 值相对应的 y 值叫做函数值函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的 值域值域． 相同函数的判断方法相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的 字母无关） ；②定义域一致 (两点必须同时具备)定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1； (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么， 它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合； (6)指数为零底不可以等于零； (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (见课本 21 页相关例 2) 值域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 2.2. 函数的表示方法函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法解析法、列表法列表法、图象法图象法三种． 解析法解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 列表法列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 图象法图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．常用变换方法有三种 1)平移变换 2)伸缩变换 3)对称变换【eg】 3 3．区间的概念．区间的概念 是两个实数，且，满足的实数的集合叫做, a babaxbx闭区间闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间开区间，记[ , ]a baxbx做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭半开半闭( , )a baxbaxbx区间区间，分别记做，；满足的实数[ , )a b( , ]a b,,,xa xa xb xb的集合叫做无穷区间无穷区间，分别记x做．[ ,),( ,),(, ],(, )aabb 区间的数轴表示． 4 4．映射．映射 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应 法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确 定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射映射。

记作“f（对应关系）：A（原象）B（象） ” 对于映射f：A→B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，求值域问题， 定义域先行①①观察法：观察法：对于比较简单的函数，我们 可以通过观察直接得到值域或最值． ②②配方法：配方法：将函数解析式化成含有自变 量的平方式与常数的和，然后根据变量 的取值范围确定函数的值域或最值． ③③判别式法：判别式法：若函数可以化成( )yf x 一个系数含有的关于的二次方程yx ，则在时，由2( )( )( )0a y xb y xc y( )0a y  于为实数，故必须有, x y ，从而确定函数的2( )4 ( )( )0bya yc y  值域或最值． ④④不等式法：不等式法：利用基本不等式确定函数 的值域或最值． ⑤⑤换元法：换元法：通过变量代换达到化繁为简、 化难为易的目的 ⑥⑥反函数法：反函数法：利用函数和它的反函数的 定义域与值域的互逆关系确定函数的值 域或最值． ⑦⑦数形结合法：数形结合法：利用函数图象或几何方 法确定函数的值域或最值． ⑧⑧函数的单调性法．函数的单调性法．在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在 集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素 在集合A中都有原象。

5.5.分段函数分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数 (2)各部分的自变量的取值情况． (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并 集． 复合函数复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 F(x)=f[g(x)] (x∈A)称为 f、g 的复合函数四、函数的性质四、函数的性质 1.1.函数的单调性函数的单调性 （1）定义 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内 的任意两个自变量 x1，x2，当 x1