人教A版2019必修一高二数学上学期同步课堂 第一章空间向量与立体几何单元检测（能力挑战卷）.docx

第一章 空间向量与立体几何（能力挑战卷）一、单选题1．已知空间四点，，，共面，则的值为（ ）A． B． C． D．2．如图，在平行六面体中，，，则（ ）A．1 B． C．9 D．33．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）A． B． C． D．4．已知平面内两向量，，若为平面的法向量且，则，的值分别为（ ）A．， B．， C．， D．，5．如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（ ）A． B． C． D．6．已知三棱锥的所有棱长均为2，为的中点，空间中的动点满足，，则动点的轨迹长度为（ ）A． B． C． D．7．如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的取值范围为（ ）(参考数据：)A． B． C． D．8．如图，在菱形中，，线段，的中点分别为，，现将沿对角线翻折，则异面直线与所成的角的取值范围是A． B． C． D． 二、多选题9．设是空间一个基底，下列选项中正确的是（ ）A．若，，则B．则两两共面，但不可能共面C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使D．则，，一定能构成空间的一个基底10．在正三棱柱中，，，点D为BC中点，则以下结论正确的是（ ）A．B．三棱锥的体积为C．且平面D．内到直线AC、的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分11．（多选题）在四面体中，以上说法正确的有（ ）A．若，则可知B．若为△的重心，则C．若，，则D．若四面体各棱长都为2，分别为的中点，则 12．如图1，在边长为2的正方形中，，，分别为，，的中点，沿､及把这个正方形折成一个四面体，使得､､三点重合于，得到四面体(如图2).下列结论正确的是（ ）A．四面体的外接球体积为B．顶点在面上的射影为的重心C．与面所成角的正切值为D．过点的平面截四面体的外接球所得截面圆的面积的取值范围是 三、填空题13．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点作一个平面分别交，，于点，，，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，，则的值为___________.14．如图在正方体中，已知,,,为底面的的中心，为的重心，则______15．设正方体的棱长为2，为过直线的平面，则截该正方体的截面面积的取值范围是________.16．已知共面的三个单位向量，，满足，若空间向量满足，且对于任意，，恒有，则____. 四、解答题17．设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”.（1）设，，若，求向量；（2）对于中的任意两个向量，，证明：；（3）对于中的任意单位向量，求的最大值.18．如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点．（1）证明：；（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．19．《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，M，N分别是，BC的中点，点P段上.（1）若P为的中点，求证：平面.（2）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.20．如图1，菱形中，动点，在边，上(不含端点)，且存在实数使，沿将向上折起得到，使得平面平面，如图2所示.（1）若，设三棱锥和四棱锥的体积分别为，，求；（2）试讨论，当点的位置变化时，二面角是否为定值，若是，求出该二面角的余弦值，若不是，说明理由.21．已知多边形是边长为2的正六边形，沿对角线将平面折起，使得.（1）证明：平面平面；（2）段上是否存在一点，使二面角的余弦值为，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由.22．如图，已知四棱锥中，平面，平面平面，且，，，点在平面内的射影恰为的重心.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.参考答案1．D【分析】求得、、的坐标，根据题意可知存在实数、，使得，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，进而可求得实数的值.【详解】依题意得，，，、、、四点共面，、、共面，存在实数、，使得，即，所以，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用空间向量法处理四点共面的问题，考查计算能力，属于中等题.2．D【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到，再利用求的模长.【详解】在平行六面体中，有，，由题知，，，，，所以，，与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，所以.所以.故选：D.3．C【分析】将，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.【详解】设与的夹角为．由，得，两边平方，得，所以，解得，又，所以，故选：C．4．A【分析】利用空间向量的数乘和加法运算求出的坐标，再由垂直关系的数量积等于，列方程组即可求解.【详解】因为，，所以，因为为平面的法向量，所以，即，解得：，所以，的值分别为，，故选：A.5．D【分析】以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值，再得正弦值．【详解】由题意以为轴建立空间直角坐标系，如图，，，，，又，．，则，设异面直线与所成角为，则，为锐角，，所以．故选：D．6．C【分析】将正四面体放入正方体，建立空间直角坐标系，求得点满足的方程，判断出点的轨迹为圆，求得圆的半径，由此计算出圆的周长也即的轨迹长度.【详解】正四面体放入正方体，则正方体的棱长为，建立空间直角坐标系如图所示，，设，，.由于，，所以，即，即，即，表示球心为，半径为的球.表示垂直于平面的一个平面.所以的轨迹是上述平面截球面所得圆.球心到平面的距离为，所以截得的圆的半径，所以截得的圆，也即点的轨迹的长度为.故选：C【点睛】空间中求动点轨迹长度，可考虑采用坐标法求得动点轨迹方程，结合轨迹方程求得轨迹的长度.7．B【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系，证明平面，并求，然后将异面直线与所成的角，转化为与所成的角，再如图建立第二个坐标系，利用坐标法求异面直线所成的角的余弦值，再求角的范围.【详解】如图，建立空间直接坐标系，连结，交平面于点，，，，，，，，，，，，平面，根据等体积转化可知，即，解得：，，,，异面直线与所成的角，转化为与所成的角，如图，将部分几何体分类出来，再建立一个空间直角坐标系，取的中点，过点作，则以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，，，，，，,，即，，即 ，即， ，因为异面直线所成的角是锐角，并设为，则，，， 故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用空间直角坐标系，解决异面直线所成的角，关键是如何建立坐标系，解决问题，本题建立两个坐标系，目的是方便解决问题.8．C【分析】设菱形的边长为1，则，利用向量的平行四边形法则得到，再利用数量积运算求出，再由 ，根据的范围，利用余弦函数的性质求解.【详解】设菱形的边长为1，则，，，， ，，所以，由图可知：，所以，所以，所以，所以异面直线与所成的角的取值范围是故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键是得到，转化为余弦函数求得其范围，进而求出的范围.9．BCD【分析】根据空间向量的基底的概念，对选项逐一分析，可得正确选项.【详解】由是空间一个基底，知：在A中，若，，则与的夹角不一定是，故A错误；在B中，两两共面，但不可能共面，故B正确；在C中，根据空间向量的基本定理可知C正确；在D中，因为不共面，假设，，共面，设，化简得，可得共面，与已知矛盾，所以，，不共面，可作为基底，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查向量的基底的概念，需要注意：（1）如果是基底，则一定不共面；（2）对空间中任意向量，都可以用基底向量进行表示；（3）如果，则共面.10．ABD【分析】A．根据空间向量的加减运算进行计算并判断；B．根据，然后计算出对应三棱锥的高和底面积，由此求解出三棱锥的体积；C．先假设，然后推出矛盾；取中点，根据四点共面判断平面是否成立；D．将问题转化为“内到直线和点的距离相等的点”的轨迹，然后利用抛物线的定义进行判断.【详解】A．，故正确；B．，因为为中点且，所以，又因为平面，所以且，所以平面，又因为，，所以，故正确；C．假设成立，又因为平面，所以且，所以平面，所以，显然与几何体为正三棱柱矛盾，所以不成立；取中点，连接，如下图所示：因为为中点，所以，且，所以，所以四点共面，又因为与相交，所以平面显然不成立，故错误；D．“内到直线AC、的距离相等的点”即为“内到直线和点的距离相等的点”，根据抛物线的定义可知满足要求的点的轨迹为抛物线的一部分，故正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：求解空间中三棱锥的体积的常用方法：（1）公式法：直接得到三棱锥的高和底面积，然后用公式进行计算；（2）等体积法：待求三棱锥的高和底面积不易求出，采用替换顶点位置的方法，使其求解高和底面积更容易，由此求解出三棱锥的体积.11．ABC【分析】作出四面体直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.【详解】对于 ，，， ， ，即，故正确；对于，为△的重心，则，,即，故正确；对于，若，，则，,,,，，故正确； 对于，，故错误.故选：ABC【点睛】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．12．ACD【分析】折叠问题，关键是抓住其中的不变量.选项A：说明､､两两垂直，将四面体的外接球问题，转化为长方体的外接球问题；选项B：由于､､两两垂直，可证在面上的射影为的垂心；选项C：线面角的定义法求解；选项D：将四面体补成长方体，找出球心，将问题转化为过一定点作球的截面求截面圆面积最值问题.【详解】对于A项，易知､､两两垂直，故可以补成长方体，其体对角线长，外接球半径，故外接球体积为，故A项正确；对于B项，由于､､两两垂直，故在面上的射影为的垂心，理由如下:如图，过点作平面，交平面于点，因为平面，平面，所以，又因为，，，都在平面内，且相交于点，所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以.同理可证，，所以在面上的射影为的垂心.故B项错误；对于C项，设为中点，则，，，故平面，故平面平。