奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式.pdf

1 奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式 1、1001abcabcabc=× 2、10101abababab=× 3、对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即ba× ×1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a＜b，那么有: )11(11baabba−−=×−−=×     4、对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有： +×+−+×=+×+×+×+−+×=+×+×)2() 1(1) 1(121)2() 1(1nnnnnnn +×+×+−+×+×=+×+×+×+×+×+−+×+×=+×+×+×)3()2() 1(1)2() 1(131)3()2() 1(1nnnnnnnnnn 5 5、、 abbabbaababa11+=×+×=×++=×+×=×+      6 6、、abbababbaababa+=×+×=×++=×+×=×+2222    7、) 1() 1(31) 1(......433221+−=×−++×+×+×+−=×−++×+×+×nnnnn     8、 ) 1() 1)(2(41) 1()2(......543432321+−−=×−×−++××+××+××+−−=×−×−++××+××+××nnnnnnn 9、 ) 1() 1(31)2)(1(31) 1(+−−++=++−−++=+nnnnnnnn 10、 )2)(1() 1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++−−+++=++++−−+++=++nnnnnnnnnnn 11、 !)!1(!nnnn−+=×−+=×  2 1 12 2. .求和：求和： 1) 1(1......541431321211+=+++×+×+×+×=+=+++×+×+×+×=nnnnSn 证：1111)111()5141()4131()3121()211 (+=+−=+−++−+−+−+−=+=+−=+−++−+−+−+−=nnnnnSn 1313. .求和：求和：12) 12)(12(1971751531311+=+−++×+×+×+×=+=+−++×+×+×+×=nnnnSn 证：12)1211 (21)121121(21)7151(21)5131(21)311 (21+=+−=+−−++−+−+−=nnnnnSn 1414. .求和：求和：13) 13)(23(11071741411+=+−++×+×+×=+=+−++×+×+×=nnnnSn 证：)131231(31)10171(31)7141(31)411 (31+−−++−+−+−=nnSn 13)1311 (31+=+−=nnn 1515. .求和：求和：)2111211 (31)2(1641531421311+−+−+=+++×+×+×+×=+−+−+=+++×+×+×+×=nnnnSn 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311 (21+−−++−+−+−+−=nnSn )2111211 (31)211(21+−+−−+=+−+nnnn 16.求和：++−=++++××+××+××=++−=++++××+××+××=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211nnnnnSn  3 证：因为])2)(1(1) 1(1[21)2)(1(1++−+=++nnnnnnn， ])2)(1(121[21])2)(1(1) 1(1[21)431321(21)321211(21++−=++−+++×−×+×−×=∴nnnnnnSn 17、2) 1(321+=+++=++nnn 1818、、212311321nnnn=++++−++−++++）（）（ 1919、、2127531nn=−++++=−++++）（ 2020、、6) 12)(1(21222++=+++++=+++nnnn 2121、、3) 14(3) 12)(12(1253122222−×=−+=−++++−×=−+=−++++nnnnnn）（ 2222、、()()412121222333+=++=+++nnnn 2323、、 ))((22bababa−+=− 2424、、 2222)(bababa+±=± 【典型例题】【典型例题】 例 1. 计算：119851986119861987119871988119941995×+×+×++×…… +×+×+11995199611996199711997 分析与解分析与解答：答： 1198519861198511986119861987119861198711987198811987119881199419951199411995×=−×=−×=−×=−……  4 11995199611995119961199619971199611997×=−×=− 上面 12 个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为 0，这一来问题解起来就十分方便了。

11985198611986198711987198811995199611996199711997×+×+×++×+×+… =−+−+−++−+−+=119851198611986119871198711988119951199611996119971199711985…… 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法 例 2. 计算：1111211231123100+++++++++++…… 公式的变式 11221+++=×−…nnn() 当n分别取 1，2，3，……，100 时，就有 112121122231123234112342451121002100101=×+=×++=×+++=×+++=×…  5 111121123112100212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101++++++++++=×+×+×++×+×=××+×+×++×+×=×−+−+−++−+−=×−……………()()() =×==2100101200101199101 例 3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式1611=+<>()中这两个符号所代表的数的数的积是多少？ 分析与解：分析与解：减法是加法的逆运算，1611=+<>()就变成1611−=<>()，与前面提到的等式11111nnn n−+=+()相联系，便可找到一组解，即1617142=+ 另外一种方法 设nxy、 、都是自然数，且xy≠，当111nxy=+时，利用上面的变加为减的想法，得算式xnnxy−=1。

这里1y是个单位分数，所以xn−一定大于零，假定xnt−=> 0，则xnt=+，代入上式得tn nty()+=1，即yntn=+2 又因为y是自然数，所以t一定能整除n2，即t是n2的约数，有n个t就有n个y，这 一 来 我 们 便 得 到 一 个 比11111nnn n−+=+()更 广 泛 的 等 式 ， 即 当xnt=+，yntn=+2，t是n2的约数时，一定有111nxy=+，即 11nnttn nt−+=+()  6 上面指出当xnt=+，yntn=+2，t是n2的约数时，一定有111nxy=+，这里nn==6362,，36 共有 1，2，3，4，6，9，12，18，36 九个约数 当t = 1时，x = 7，y = 42 当t = 2时，x = 8，y = 24 当t = 3时，x = 9，y = 18 当t = 4时，x = 10，y = 15 当t = 6时，x = 12，y = 10 当t = 9时，x = 15，y = 10 当t = 12时，x = 18，y = 9 当t = 18时，x = 24，y = 8 当t = 36时，x = 42，y = 7 故（ ）和< >所代表的两数和分别为 49，32，27，25。

【模拟试题】【模拟试题】（答题时间：20 分钟） 二.尝试体验： 1. 计算： 11212313419899199100×+×+×++×+×… 2. 计算：131611011512112813614515516617819111051120+++++++++++++ 3. 已知xy、是互不相等的自然数，当11811=+xy时，求xy+ 【试题答案】【试题答案】 1. 计算： 11212313419899199100×+×+×++×+×… =−+−+−++−+−=−=1121213131419819919911001110099100… 2. 计算：131611011512112813614515516617819111051120+++++++++++++  7 =+++++++++++++=××+×+×+×+×+×+×+×+×+×+×+×+×+×=×−=−=262122202302422562722902110213221562182221022402123134145156167178189191011011111 121121311314114151151621211611878()() 3. 已知xy、是互不相等的自然数，当11811=+xy时，求xy+。

xy+的值为：的值为：75，，81，，96，，121，，147，，200，，361 因为因为 18 的约数有的约数有 1，，2，，3，，6，，9，，18，共，共 6 个，所以有个，所以有118111811136136=+×+=+() 118121812154127542781118131813172124722496=+×+=++==+×+=++=()() 118161816112612121126147=+×+=++=() 11819181911801202018020011811818118119134219342361=+×+=++==+×+=++=()() 1182318231451303045751182918291991222299121=+×+=++==+×+=++=()() 还有别的解法还有别的解法 裂项法裂项法【典型例题】【典型例题】  8 例 1. 113135157119931995119951997×+×+×++×+×… 分析与解：分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。

下面我们用11nnttn nt−+=+()，现在给n、t一些具体的值，看看有什么结果 当nt==12,时，有2131113×=− 当nt==32,时，有2351315×=− 当nt==52,时，有2571517×=− …… 当nt==19932,时，有2199319951199311995×=− 当nt==19952,时，有2199519971199511997×=− 上面这 998 个等式左边的分数， 其分母分别与题目中各加数的分母一样， 只是分子是 2不 是1 ， 但 是 很 容 易 将 题 目 中 各 数 的 分 子 变 为2 ， 例 如1131221313512235×=×××=××,，……，这样采用裂项法也能较快求出结果来 因为1131221313512235×=×××=××,，……，11993199512219931995×=××，11995199712219951997×=×× 所以113135119931995119951997×+×++×+×… =×−+−++−+−=×−=×=121131315119931199511995119971211199712199619979981997()()… 例 2. 1123123419899100××+××++××…… 因为112123311232123×−×=−××=×× 所以112312112123××=××−×() 同样可得123412123134××=××−×()  9 134512134145××=××−×() 一般地，因为 11112n nnn()()()+−++ =+−++=++nnn nnn nn212212()()()() 1121211112n nnn nnn()()[()()()]++=×+−++ 这里n是任意一个自然数。

利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例 2 的结果 11231234198991001211212312313419899199100121121231231341989919910012112199100××+××++××=××−×+×−×++×−×=××−×+×−×++×−×=××−×………[()()()]()() =×−=×=124950199001249499900494919800 例 3. 计算：121231234123451234200+++++++++++++++…… 分析与解：分析与解：  10 1232232225123422432361234522542471234112212122122112+=+×=×++=+×=×+++=+×=×++++=+−=−+−+=×−+()()()()()()()()()()()…nnnnnnnnn 而11122112312nnnnnnnn−−+=+−−−+=−+()()()()()() 即112131112()()()nnnn−+=×−−+ 连续使用上面两个等式，便可求出结果来。

12123123420012225236219920212233253363199202122312151316141715181711011991202++++++++=+×+×++×=+××+×++×=+×−+−+−+−+−++−……………()() =+×+++++−++++12231213141511991516171202[()()]…… 12231213141511991516120012011202122312131412001201120212239920066201994041233100442013320214309332030100+×+++++−+++++=+×++−−−=+×++=+++=[()()]()()…… 【模拟试题】【模拟试题】（答题时间：15 分钟） 二. 尝试体验 1. 求和：13134134513456134520+++++++++++++++…… 2. 求和：1110314051887115491238111340+++++  11 3. 求和：1123412345117181920×××+×××++×××…  12 【试题答案】【试题答案】 1. 求和：13134134513456134520+++++++++++++++…… 687836841225 2. 求和：1110314051887115491238111340+++++ 36320 3. 求和：1123412345117181920×××+×××++×××… 113920520 。