高一数学讲义-指数运算与指数函数(共10页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上第4讲指数运算与指数函数高考要求指数运算和指数函数要求层次重点难点幂的运算C①根式的概念②有理指数幂③实数指数幂④幂的运算①分数指数幂的概念和运算性质②无理指数幂的理解③实数指数幂的意义指数函数的概念B在理解实数指数幂的意义的前提下理解指数函数在理解实数指数幂的意义的前提下理解指数函数指数函数的图象和性质C①对于底数与时指数函数的不同性质②掌握指数函数的图象和运算性质①对于底数与时指数函数的不同性质②掌握指数函数的图象和运算性质③掌握指数函数作为初等函数与二次函数、对数函数结合的综合应用问题知识精讲板块一：指数,指数幂的运算（一）知识内容1．整数指数⑴ 正整数指数幂：，是个连乘的缩写（），叫做的次幂，叫做幂的底数，叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂．⑵整数指数幂：规定：，．2．分数指数⑴ 次方根：如果存在实数，使得，那么叫做的次方根．⑵ 求的次方根，叫做开次方，称做开方运算．① 当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．这时，的次方根用符号表示．② 当是偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数．正数的正、负次方根分别表示为：，，可以合并写成．⑶正数的正次方根叫做的次算术根．负数没有偶次方根．的任何次方根都是，记作．⑷式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数（当有意义时）3．根式恒等式：；当为奇数时，；当为偶数时，．4．分数指数幂的运算法则⑴正分数指数幂可定义为：⑵负分数指数幂可定义为：5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质：⑴⑵⑶6．次方根的定义及性质：为奇数时，，为偶数时，．7．分数指数幂与根式的互化：，（，，且）零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．8．指数的运算性质：，（其中，）9．无理数指数幂⑴ 无理指数幂是无理数）是一个确定的实数．⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．10．一般地，当，为任意实数值时，实数指数幂都有意义．对任意实数，，上述有理指数幂的运算法则仍然成立．（二）典例分析【例1】 求下列各式的值：⑴ ；⑵ ； ⑶ ； ⑷ ；⑸ ．⑹；⑺；⑻；⑼．【例2】 计算下列各式：⑴ ； ⑵ ．【例3】 用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）：⑴ ；⑵ ；⑶ ．【例4】 若，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【例5】 设，，，则，，的大小关系是（ ）【例6】 设 ，那么的值是（ ）【例7】 若，求【例8】 已知，求的值．【例9】 下列判断正确的有 ①有理数的有理数次幂一定是有理数 ②有理数的无理数次幂一定是无理数③无理数的有理数次幂一定是有理数 ④无理数的无理数次幂一定是无理数A．3个 B．2个 C．1个 D．0个板块二：指数函数及其性质（一）知识内容1．指数函数：一般地，函数，，叫做指数函数．2．指数函数的图象和性质对比指数的取值0＜a＜1a＞1图象定义域R值域性质（1）过定点，即时，（2）在上是减函数（2）在上是增函数3．（且）的图象特征：时，图象像一撇，过点，且在y轴左侧a越大，图象越靠近y轴（如图1）；时，图象像一捺，过点，且在y轴左侧a越小，图象越靠近y轴（如图2）；与的图象关于y轴对称（如图3）． 图 图 图（二）主要方法：1．指数方程，指数不等式：常要转化为同底数的形式，在利用指数函数的单调性求解；2．确定与指数有关的函数的单调性时，常要注意针对底数进行讨论；3．要注意运用数形结合思想解决问题．（三）典例分析：【例10】 已知，比较下列各组数的大小：①；② ；③；④．【例11】 （2009年江苏卷）已知，函数，若实数满足，则的大小关系为 ．【例12】 图中的曲线是指数函数的图象，已知取四个值，则相应于曲线的依次为_______________．【例13】 求下列函数的定义域、值域⑴ ； ⑵； ⑶板块三：指数函数和其它函数的运算与复合（一）知识内容：复合函数的单调性与奇偶性，重点研究学生熟悉的二次函数的复合，复合函数单调性的判断是重点也是难点．1．和差函数的单调性两个增函数（或减函数）的和仍为增函数（或减函数），一个增函数（或减函数）减去一个减函数（或增函数），结果是一个增（或减）函数．2．复合函数的奇偶性、单调性有如下规律：值得注意的是，当且仅当外层函数的定义域与内层函数的值域的交集非空时才能构成复合函数，复合函数奇偶性：两奇才为奇； 复合函数单调性：同增异减 奇奇奇增增增偶奇偶减减增奇偶偶增减减偶偶偶减增减（二）典例分析：【例14】 已知，，则在（ ）A．上为增函数 B．上为增函数C．上为减函数 D．上为减函数【例15】 函数的单调增区间为_________，值域为___________．【例16】 求函数的单调区间及其值域．【例17】 求下列函数的单调区间．⑴（，且）；⑵已知，求函数最值．【例18】 （2007-2008北京四中期中测试）求函数 的值域．【例19】 已知．⑴求证：；⑵若（为常数），判断的奇偶性．【例20】 讨论函数的奇偶性、单调性，并求它的值域．【例21】 已知函数，其中，．⑴判断函数的奇偶性；⑵判断函数的单调性，并证明．【例22】 （2008-2009南通一中高三期中考试题）在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数），它表示的整数部分，即是不超过的最大整数．例如：，，．设函数，则函数的值域为（ ）【例23】 （2008-2009首师大附中高中课改数学模块1水平监测期中考试）因为复杂的函数，往往是由多个简单函数的加、减、乘、除运算得到，或者是多个函数的复合后得到的，比如下列函数：，则复合后可得到函数和，像这样，一个函数的函数值作为另一个函数的自变量的取值，得到的函数称为复合函数；也可以由进行乘法运算得到函数．所以我们在研究较复杂的函数时，常常设法把复杂的函数进行逆向操作，把其拆分转化为简单的函数，借助简单函数的性质进行研究．⑴复合函数的解析式为 ；其定义域为 ．⑵可判断是增函数，那么两个增函数相乘后得到的新函数是否一定是增函数？若是请证明，若不是，请举一个反例；⑶已知函数，若，则的取值范围为 ．⑷请用函数中的两个进行复合，得到三个函数，使它们分别为偶函数且非奇函数、奇函数且非偶函数、非奇非偶函数．【例24】 设，，若为奇函数，求的值．【例25】 小明即将进入一大学就读，为了要支付4年学费，小明欲将一笔钱存入银行，使得每年皆有40000元可以支付学费．而银行所提供的年利率为6%，且为连续复利，试求出小明现在必须存入银行的钱的数额．家庭作业习题1. 比较下列各题中两个值的大小：⑴ ，；⑵ ，；⑶ ，．习题2. （2007年山东潍坊统考）若，，且，则的值为（ ）A． B．或 C． D． 习题3. 函数，求在上的最小值．习题4. 化简：⑴　 ⑵．习题5. 已知，判断函数的单调性、奇偶性，并求的值域．习题6. 已知是上的增函数，求的取值范围．月测备选习题1. 函数（ ）A．是奇函数，在上是减函数 B．是偶函数，在上是减函数C．是奇函数，在上是增函数 D．是偶函数，在上是增函数习题2. 方程2x=2-x的解的个数为______________．习题3. 已知函数，⑴ 作出函数的图象；⑵ 根据图象指出函数的单调区间；⑶ 根据图象指出当取什么值时，函数有最值． 专心---专注---专业。