最新概率论与数理统计课件第五章二维随机变量及其分布.ppt

第五章　二维随机变量及其分布第五章　二维随机变量及其分布第一节　二维随机变量及其分布函数第一节　二维随机变量及其分布函数第二节　二维离散型随机变量第二节　二维离散型随机变量第三节　二维连续型随机变量第三节　二维连续型随机变量第四节　边缘分布第四节　边缘分布第五节　随机变量的独立性第五节　随机变量的独立性概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布第一节　二维随机变量及其分布函数第一节　二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量一、二维随机变量　　如果由两个变量所组成的有序数组　　如果由两个变量所组成的有序数组（（ξηξη），它的取值是随着试验结果而），它的取值是随着试验结果而确定的，则称（确定的，则称（ξηξη）为二维随机变量，）为二维随机变量，称（称（ξηξη）的取值规律为二维分布的取值规律为二维分布二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布二、二维随机变量的分布函数二、二维随机变量的分布函数　设　设( (ξηξη) )是二维随机变量，是二维随机变量，( (ξηξη) ) R R2 2, , 则称则称F(x,y)=P{F(x,y)=P{ξξ x,x,ηη y}y}为为( (ξηξη) )的的分布函数分布函数，或，或ξξ与与ηη的的联合分联合分布函数布函数。

分布函数的性质分布函数的性质概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布三、分布函数的性质三、分布函数的性质（（1 1）对于任意）对于任意x,y x,y  R R，，有有0≤0≤F(x,y)≤1F(x,y)≤12 2））F(x,y)F(x,y)关于关于x x（（或或y y））单调不减单调不减3 3））F(x,y)F(x,y)关于关于x x（（或或y y））右连续4 4））F(-∞,-∞)F(-∞,-∞)＝＝0 0，，F(+∞,+∞)F(+∞,+∞)＝＝1 1　　　　 F(-∞,y) F(-∞,y)＝＝0 0，，F(x,-∞)F(x,-∞)＝＝0 0（（5 5）对于任意）对于任意x x1 1

求常数求常数A A，，B B，，C C解：解：backback概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布第二节　二维离散型随机变量第二节　二维离散型随机变量二维离散型随机变量二维离散型随机变量　　如果二维随机变量　　如果二维随机变量( (ξηξη) )所有可能取所有可能取的数组是有限或可列的，并且以确定的概的数组是有限或可列的，并且以确定的概率取各个不同的数组，则称率取各个不同的数组，则称( (ξηξη) )为二元为二元离散型随机变量离散型随机变量 (ξηξη) )分布律分布律概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布( (ξηξη) )的联合分布律的联合分布律ξηξηy1…yj…x1p11p1j…xipi1pij…概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布　　设　　设( (ξηξη) )的所有可能取值为的所有可能取值为( (x xi i,y,yj j) )，，其其中中i,j=1,2,…i,j=1,2,…称称为为( (ξη)ξη)的的联合概率分布联合概率分布，也简称，也简称概率分布概率分布　　（　　（1 1））0≤0≤P Pijij≤1≤1　　（　　（2 2））∑∑i i∑∑j j P Pijij=1=1例题例题2 2概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题2 2　　一口袋中有三个球，它们依次标有数字　　一口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,21,2,2。

从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球设每次取球时，袋中各球被取到的可能性相同设每次取球时，袋中各球被取到的可能性相同以以ξ,ηξ,η分别记第一次和第二次取得的球上标有的数分别记第一次和第二次取得的球上标有的数字求（求（1 1））( (ξ,η)ξ,η)的分布律的分布律　（　（2 2））P P( (ξξ≥≥η)η)解解: (1): (1)backback1/31/321/30121ξηξηP P( (ξ=1,η=1)=ξ=1,η=1)=P P( (ξ=1,η=2)=ξ=1,η=2)=P(ξ=1)P(η=1|ξ=1)=0P(ξ=1)P(η=1|ξ=1)=0P(ξ=1)P(η=2|ξ=1)=1/3P(ξ=1)P(η=2|ξ=1)=1/3概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题2 2　　一口袋中有三个球，它们依次标有数字　　一口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,21,2,2从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球设每次取球时，袋中各球被取到的可能性相同设每次取球时，袋中各球被取到的可能性相同。

以以ξ,ηξ,η分别记第一次和第二次取得的球上标有的数分别记第一次和第二次取得的球上标有的数字求（求（1 1））( (ξ,η)ξ,η)的分布律的分布律　（　（2 2））P P( (ξξ≥≥η)η)解解: (2): (2)backback1/31/321/30121ξηξηP P( (ξξ≥≥η)η)=P=P( (ξ=1,η=1)+Pξ=1,η=1)+P( (ξ=2,η=1)+ Pξ=2,η=1)+ P( (ξ=2,η=2) =2/3ξ=2,η=2) =2/3概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布第三节　二维连续型随机变量第三节　二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量　　　　　　设　　设( (ξηξη) )的分布函数为的分布函数为F(x ,y),F(x ,y),若存在非负可若存在非负可积函数积函数f(x,y)f(x,y)，，使得对于任意实数使得对于任意实数 x,yx,y 有有　　　　　　　　　　　　　　则称　　则称( (ξηξη) )为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量，，f(x,y) f(x,y) 为为( (ξηξη) )的的联合概率密度函数联合概率密度函数（（联合密度函数联合密度函数) ) 。

联合密度函数性质联合密度函数性质概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布二、联合密度函数性质二、联合密度函数性质例题例题3 3概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题3 3　　　　　　1.1.设设( (ξηξη) )的联合概率密度为的联合概率密度为求（求（1 1）常数）常数C C　（　（2 2））P P( (ξξ≥≥η)η)解：（解：（1 1））例题例题3 3续续C=8C=8概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题3 3　　　　　　1.1.设设( (ξηξη) )的联合概率密度为的联合概率密度为求（求（1 1）常数）常数C C　（　（2 2））P P( (ξξ≥≥η)η)解：（解：（2 2））例题例题3 3续续概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题3 3续续　　　　2.2.设设( (ξξ，，η)η)的联合概率密度为的联合概率密度为求（求（1 1）常数）常数k k解解（（1 1））y = x10xy概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布(2) x+y=1y = x10xy0.5x+y=1y = x10xyy = x10xy0.5概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布（（3 3））F(x,y)=P(ξF(x,y)=P(ξ≤≤x,ηx,η≤≤y)y)概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布F (x,y) =0, x < 0 或 y < 0y4 , 0  x <1, 0  y < x ， 或x  1, 0  y < 1，2x2y2–y4, 0  x <1, x  y <1，2x2–x4 , 0  x <1, y  1，1, x  1, y  1，概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布三、常见二维连续型随机变量分布三、常见二维连续型随机变量分布1.二维均匀分布二维均匀分布　　如果　　如果( (ξηξη) )的联合概率密度为的联合概率密度为其中其中G G是平面上某个区域，则称是平面上某个区域，则称( (ξηξη) )～～U(G)U(G)。

二维正态分布二维正态分布概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布2.二维正态分布　　如果(ξη)的联合概率密度为则称(ξη) ～ N(1,12;2,22; )，其中1,2>0，-1<< 1例题例题4 4概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题4 4( (ξη)ξη)～～U(G)U(G)，，G={0≤y≤xG={0≤y≤x，，0≤x≤ 1} 0≤x≤ 1} 求（求（1 1））f( x, y )f( x, y )（（2 2））P(η>ξP(η>ξ2 2 ) )（（3 3））( (ξη) ξη) 在平面上的落点到在平面上的落点到y y 轴距离小于轴距离小于0.30.3的的概率解解：（：（1 1））backback概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题4 4( (ξη)ξη)～～U(G)U(G)，，G={0≤y≤xG={0≤y≤x，，0≤x≤ 1} 0≤x≤ 1} 求（求（1 1））f( x, y )f( x, y )（（2 2））P(η>ξP(η>ξ2 2 ) )（（3 3））( (ξη) ξη) 在平面上的落点到在平面上的落点到y y 轴距离小于轴距离小于0.30.3的的概率。

概率解解：　（：　（2 2））backbacky=x10xy1Gy = x2概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题4 4( (ξη)ξη)～～U(G)U(G)，，G={0≤y≤xG={0≤y≤x，，0≤x≤ 1} 0≤x≤ 1} 求（求（1 1））f( x, y )f( x, y )（（2 2））P(η>ξP(η>ξ2 2 ) )（（3 3））( (ξη) ξη) 在平面上的落点到在平面上的落点到y y 轴距离小于轴距离小于0.30.3的的概率解解：　（：　（3 3））backbacky = x10xy10.3概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布第四节　边缘分布第四节　边缘分布一、边缘分布函数一、边缘分布函数　　设　　设F(x,y)F(x,y)为为( (ξη)ξη)的联合分布函数，的联合分布函数，关于关于ξξ的边缘分布函数的边缘分布函数P P( (ξ≤x)=Pξ≤x)=P( (ξ≤x,η<+∞)=Fξ≤x,η<+∞)=Fξξ(x),(x),其中其中x x∈∈R R关于关于ηη的边缘分布函数的边缘分布函数P P( (η≤y)=Pη≤y)=P( (ξ<+∞,η≤y)=Fξ<+∞,η≤y)=Fηη(y),(y),其中其中y y∈∈R R例题例题5 5概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题5 5　　设　　设( (ξη)ξη)的联合分布函数为的联合分布函数为求求F Fξξ(x)(x)和和F Fηη(y)(y)。

解：解：边缘分布律边缘分布律概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布二、（离散型）边缘分布律二、（离散型）边缘分布律　　设　　设( (ξη)ξη)的联合分布律为的联合分布律为P P( (ξ=xξ=xi i,η=y,η=yj j)=P)=Pijij　（　（i,j=1,2,…i,j=1,2,…））关于关于ξξ的边缘分布律的边缘分布律P P( (ξ=xξ=xi i)= P)= P( (ξ=xξ=xi i,η<+∞)=,η<+∞)=∑∑j jP Pij ij =P=Pi.i.关于关于ηη的边缘分布律的边缘分布律P P( (η=yη=yj j)= P)= P( (ξ<+∞,η=yξ<+∞,η=yj j)=)=∑∑i iP Pij ij =P=P.j.j例题例题6 6概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题6 6　　箱子装有　　箱子装有1010件产品，其中件产品，其中2 2件为次品每次从中任取一件产品件为次品每次从中任取一件产品（不放回），共取（不放回），共取2 2次求（求（1 1））( (ξη)ξη)的联合分布律的联合分布律　（　（2 2）关于）关于ξξ的边缘分布律的边缘分布律解：　解：　（（1 1））1P.j10Pi.10ξ ηξ η概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题6 6　　箱子装有　　箱子装有1010件产品，其中件产品，其中2 2件为次品。

每次从中任取一件件为次品每次从中任取一件产品（不放回），共取产品（不放回），共取2 2次求（求（1 1））( (ξη)ξη)的联合分布律的联合分布律　（　（2 2）关于）关于ξξ的边缘分布律的边缘分布律解解: (2): (2)边缘密度函数边缘密度函数ξξ01P8/102/10概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布三、（连续型）边缘密度函数三、（连续型）边缘密度函数　　设　　设( (ξηξη) )的联合概率密度为的联合概率密度为f(x,y)f(x,y)，，关于关于ξξ的边缘分布函数的边缘分布函数关于关于ξξ的边缘密度函数的边缘密度函数例题例题7 7概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题7 71.(1.(ξη)ξη)～～U(G)U(G) ，，G G＝＝{0

独立离散型：离散型：ξξ和和ηη独立独立P Pijij=P=Pi· i· P P·j·j(i,j=1,…)(i,j=1,…)连续型：连续型：ξξ和和ηη独立独立f(x,y)= f(x,y)= f fξξ(x)f(x)fηη(y)(y)例题例题8 8第五节　随机变量的独立性第五节　随机变量的独立性概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题8 81.1.（（ξηξη））的联合分布律的联合分布律证明证明ξξ与与ηη独立证明：ξηξη-10202/201/202/2012/201/202/2024/202/204/20ξξ012P1/4 1/4 2/4ηη-102P2/5 1/5 2/5因为Pij=Pi.*P.j，所以ξξ与与ηη独立独立概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题8 8续续2.2.（（ξηξη））的联合分布函数为的联合分布函数为证明证明ξξ与与ηη独立证明：证明：例题例题8 8续续所以ξξ与与ηη独立独立概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布3.3.（（ξηξη））的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为试判断试判断ξξ与与ηη是否独立。

是否独立解：解：所以ξξ与与ηη独立独立概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布二、随机变量的独立性（二、随机变量的独立性（n n维）维）1.(1.(ξξ1 1 ,…,ξ ,…,ξn n ) )的联合分布函数　　　的联合分布函数　　　F(xF(x1 1,…,x,…,xn n)=P)=P( (ξξ1 1≤ x≤ x1 1 ,…,ξ ,…,ξn n ≤≤ x xn n) )2.ξ2.ξi i的边缘分布函数的边缘分布函数F Fξiξi(x(xi i)=P)=P( (ξξi i≤ x≤ xi i) )3.3.若若F(xF(x1 1,…,x,…,xn n) )＝＝ F Fξ1ξ1(x(x1 1)… F)… Fξnξn(x(xn n) )，，则则ξξ1 1 ,…,ξ,…,ξn n 相互独立若相互独立若ξξ1 1 ,…,ξ ,…,ξn n 相互独立，相互独立，☆☆P(ξP(ξ1 1= x= x1 1 ,…,ξ ,…,ξn n =x=xn n)= P)= P( (ξξ1 1= x= x1 1)… P(ξ)… P(ξn n =x=xn n) )☆☆f f(x(x1 1,…,x,…,xn n) )＝＝ f fξ1ξ1(x(x1 1)… f)… fξnξn(x(xn n) )。

总结总结概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布总结续总结续概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布backback概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布。