备战2022年高考数学复习之解析几何知识讲解专练06 直线与椭圆的位置关系（解析版）.docx

专题06 直线与椭圆的位置关系一 相关知识点1．直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．2．弦长公式(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝＝|y1－y2|.＝ (k为直线斜率)(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为 2a.3．注意点 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系（韦达定理），解决相关问题．涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．记住必须检验． (2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．题型一 直线与椭圆的位置关系1．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解析：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－49(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．2．直线y＝2x－1与椭圆＋＝1的位置关系是 解析： 得4x2＋9(2x－1)2＝36，即40x2－36x－27＝0，Δ＝362＋44027>0，故直线与椭圆相交.3．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是 解析：由得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，由题意可知解得又m＞0，且m≠3，∴m＞1且m≠3.4．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是 解析：∵直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，∴要使直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，只需＋≤1，即m≥1，又m≠5，故m的取值范围为m≥1且m≠5．5．直线y＝kx＋k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是________．解析：由于直线y＝kx＋k＋1＝k(x＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1,1)在椭圆内，直线与椭圆相交．6．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为 解析：由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，∴＝，∴e＝＝＝＝＝.7．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与直线y＝x＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为________．解析：将直线方程y＝x＋3代入C的方程并整理得(a2＋b2)x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝0，由椭圆与直线只有一个公共点得，Δ＝(6a2)2－4(a2＋b2)(9a2－a2b2)＝0，化简得a2＋b2＝9.又由椭圆的离心率为，所以＝＝，则＝，解得a2＝5，b2＝4，所以椭圆方程为＋＝1.8．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　)A．至多为1 B．2 C．1 D．0解析：　由题意知，>2，即<2，∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2.9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A，B两点．若向量＝3，则k＝ 解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为＝3，故y1＝－3y2.因为e＝，设a＝2t，c＝t，b＝t，故x2＋4y2－4t2＝0，直线AB的方程为x＝sy＋t.代入消去x，所以(s2＋4)y2＋2sty－t2＝0，所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，－2y2＝－，－3y＝－，解得s2＝，又k＝，则k＝.10．倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且＝2，则该椭圆的离心率为 解析：由题意可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得∴(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又＝2，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，∴－y1＝2y2，可得∴＝，∴e＝．11．设焦点在x轴上的椭圆M的方程为＋＝1(b>0)，其离心率为.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线l过点P(0,4)，则直线l何时与椭圆M相交？解析：(1)因为椭圆M的离心率为，所以＝2，得b2＝2.所以椭圆M的方程为＋＝1.(2)①过点P(0,4)的直线l垂直于x轴时，直线l与椭圆M相交．②过点P(0,4)的直线l与x轴不垂直时，可设直线l的方程为y＝kx＋4.由消去y，得(1＋2k2)x2＋16kx＋28＝0.因为直线l与椭圆M相交，所以Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)28＝16(2k2－7)>0，解得k<－或k>.综上，当直线l垂直于x轴或直线l的斜率的取值范围为∪时，直线l与椭圆M相交．12．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2，0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．解析：(1)由题意，得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，Δ＝96－8m2>0，∴－2b>0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A， B两点，且|AB|＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为＋＝1.4．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 解析：由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立解得交点坐标为(0，－2)，，不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝，∴S△OAB＝|OF||yA－yB|＝1＝.5．过椭圆C：＋＝1的左焦点F作倾斜角为60的直线l与椭圆C交于A，B两点，则＋等于________．解析：由题意可知F(－1,0)，故l的方程为y＝(x＋1)．由得5x2＋8x＝0，∴x＝0或－. ∴A(0，)，B.又F(－1,0)，∴|AF|＝2，|BF|＝，。