卡方分布及其它分布.doc

1卡方分布一、 卡方分布的定义：若 n 个 相 互 独 立 的 随 机 变 量 ξ 1， ξ 2， …， ξ n ， 均 服 从 标 准 正 态 分布 （ 也 称 独 立 同 分 布 于 标 准 正 态 分 布 ） ， 则 这 n 个 服 从 标 准 正 态 分 布 的 随机 变 量 的 平 方 和 ∑ ξ i∧ 2 构 成 一 新 的 随 机 变 量 ， 其 分 布 规 律 称 为 χ 2(n)分布 （ chi-square distribution） ， 其 中 参 数 n 称 为 自 由 度 二、 卡方分布的性质： :（1） (可加性) 设 ~iY且 相 互 独 立 ， 则,1,2kiin~2,nkY这里 .,iin（2） ,)(2,E.42)(,Varn证明 （1）根据定义易得2）设 则 依 定 义 ，,~2nY可 表 示 为Y,211nXX其中 且 相 互 独 立 ， 于 是),(~,,),0( NiNXi )2(.)()(1,12niiiiXVarYrE因为,1)()(22 iii ErXE.,1ni代入（1） ，第一条结论可得证。

直接计算可得.36,,1,24niEXni于是,1,,2)()(242 niEXVariii .4nnnX2代入（2）便证明了第二条结论三 、 卡 方 分 布 的 概 率 密 度 函 数 ：， 其 他 当00,21212 xenxf 数） 现 在 来 推 导 随 机 变，（相 互 独 立 且 都 服 从设 随 机 变 量 1n,.1NX的 分 布 2^2^2^x2n1n1n1  的 密 度 函 数 为， xxdoz zn 2^21-n2n212 ez00  时 ，当 时 ，当其 中 Dx 为 n 维 x 空 间 内 由 不 等 式 所 定 的 区 域 zxn 221即 ， Dz 为 n 维 x 空 间 内 以 坐 标 原 点 为 球 心 、 为 半 径 的 球 面 所 围 成 的 区 域（ 边 界 不 在 内 ）可 以 利 用 极 坐 标 来 计 算 这 积 分 令111212 11cosinsiisnnnrxrx 与 这 变 换 相 应 的 函 数 行 列 式 为 ： 1-n11, rrrrxn   其 中 括 号 和 都 表 示 的 函 数 。

因 此 当 z>0 时 ，1,n3CPzz0dr-1n22 2zC 是 常 数 为 了 定 出 C,在 上 述 等 式 的 两 端 令 得 到,rdrzn01221从 而 ，021drCzn在 分 母 内 的 积 分 中 令 ， 即 ， 用 作 代 换 ， 那 么 ， 这 个 积 分 等2 21r于  12 1201212210-n nddnn因 此 ， 21nC从 而 ， 当 z>0 时 ，xznn021122 znn02112即， 的 密 度 函 数 为， 其 他 当00,21212 zeznxfz称 这 个 密 度 函 数 所 定 的 分 布 为 自 由 度 为 n 的 分 布 ， 记 作 它 的 图 像22）（ n如 下 ：4图（一） 分 布 密 度 函 数 图2四、卡方分布的累积分布函数为： dxfxFk2enx0212，,kxFk其中 γ(k,z)为 不完全 Gamma 函数。

其图像如下：图 （ 二 ） 分 布 的 分 布 函 数 图2五、 卡方分布的特征函数及其推导：特征函数： ψ(t) = 𝐸（ 𝑒𝑖𝑡ξ ）5= f(x)dx∫+∞-∞ 𝑒𝑖𝑡ξ= dx12𝑛2𝑝(𝑛2)∫+∞0 (𝑐𝑜𝑠𝑡𝑥+𝑖𝑠𝑖𝑛𝑡𝑥)𝑒𝑛-𝑥-22=1(1-2𝑖𝑡)𝑛2六、 论证过程中的心得体会：首先通过对卡方的研究和证明，提高了我们对数学的兴趣其次，通过这次的推导和搜索资料进行分析，大大提高了我们的独立思考的能力，我们当中很多同学之前都很害怕类似的证明题，这一次的合力解决难题使我们信心倍增当然同时，这个合作锻炼了我们团队合作的能力，分工合作解决问题，有的人负责收集资料，有点人负责推导公式，有的人负责输入文章，整理公式，等等这让大家明白了团结的力量做出合理的时间安排， 做任何事情，合理的时间安排非常重要，多元课程设计也是一样，事先要做好一个规 划，课程设计一共分 5 个板块（定义，性质，特征函数，密度函数，分布函数，心得体会）你每 天要做完哪几个板块事先要确定好，这样做才会使自己游刃有余，保证在 2周时间内内完成论文，以避免由于时间上的不妥，以致于最后无法完成论文。

另外，写论文的过程中也使我们对论文的格式有了一个了解，更规范更具体，为以后的学业报告做了一次很好的准备论文属于科学性的文章，它有严格的书写格式规范，因此一篇好的论文一定 要有正确的格式，论文格式错误就不能得到好成绩，因此我们写论文时要端正态度，注意书写格式多元课程的设计更加是丰富了我们的业余生活，让大家聚在一起讨论题目，其乐融融这样的课程设计也能使我们找到志同道合的朋友，发现生活中的点滴数学趣事，从实际出发思考题目，同时我们对计算机的知识也有了一定的加深，matlab 的使用等等6t 分 布 的 有 关 知 识t 分 布 的 概 述 及 其 历 史 在 概 率 论 和 统 计 学 中 ， 学 生 t-分 布 （ Student's t-distribution） 应 用 在 当 对呈 正 态 分 布 的 母 群 体 的 均 值 进 行 估 计 它 是 对 两 个 样 本 均 值 差 异 进 行 显 著 性 测 试 的学 生 t 测 定 的 基 础 t 检 定 改 进 了 Z 检 定 ， 不 论 样 本 数 量 大 或 小 皆 可 应 用 在 样 本 数量 大 （ 超 过 120 等 ） 时 ， 可 以 应 用 Z 检 定 ， 但 Z 检 定 用 在 小 的 样 本 会 产 生 很 大 的 误 差 ，因 此 样 本 很 小 的 情 况 下 得 改 用 学 生 t 检 定 。

在 数 据 有 三 组 以 上 时 ， 因 为 误 差 无 法 压 低 ，此 时 可 以 用 变 异 数 分 析 代 替 学 生 t 检 定 当 母 群 体 的 标 准 差 是 未 知 的 但 却 又 需 要 估 计 时 ， 我 们 可 以 运 用 学 生 t-分 布 学生 t-分布可简称为 t 分布其推导由 威廉· 戈塞于 1908 年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student ）这一笔名之后 t 检验以及相关理论经由 罗纳德·费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布由于在实际工作中，往往 σ 是未知的，常用 s 作为 σ 的估计值，为了与 u 变换区别，称为 t 变换 t= ，统计量 t 值的分布称为 t 分布xsut 分 布 的 分 布 函 数 及 证 明用 表示 分布的分布函数，则);(nxTnt0)21,(12);()2/(2)/  xnIxn证明 根据分布函数的定义有 dynBdytnxTxx 2/)1(()21,();();( 当 时，上式为0 212/)1(02/)1( ()21,()21,);( AdynBdynnxTx    由于 ，故立即可得 ，为了计算 ，我们做变换);(dyt 2/1A2A则/22nt7，因此dttdtnydy 23212 )()/((  dtttnBynBA nxnnx 23212102/)1(02 )()(,21()21, 2   (1)/2Ixn故 ),(; )/12IATxnX1,(2)/2Ixn而当 时，我们有0x  xxx dyntdytdytnT 00 );(2);(2);(1);(然后利用刚刚的讨论可知 )1,()1,(2);( )/)/ 22InIxnxn综上所述便得我们所要的结论。

t 分布的密度函数及证明设 为相互独立随机变量， 服从正态 服从自由度为 的 —分布，则 t=z,zN),10(n2的密度函数为n 21/ )()2())( nnzt xnxfxf 称 是自由度为 的 —分布（或 Student 分布）的密度函数，)(ft t证：首先，易知 相互独立，事实上，与nz8.0),()(0)()( .0,}{}},,),(, 22, 时当时当 yxFxFxynzPxnyznyzxxyxFnznznz 故得证 （其实，由商的密度函数为.是 相 互 独 立 的与 .)1(2)()212()(,2,21)( .)()(21012 220222121nnn unnnz nxxnzxndexxfu dexf dffxf 则 上 式 变 为令故证明过程用到公式 ).0()( 21010   dyedxet 分布的 w 特征函为： dxtwalnxnt ),(21(^)1()2()( 9t 分布有如下特征：1、t 分布是对称分布，且其均值为 02． t 分布是一簇曲线，其形态变化与 n（确切地说与自由度 ν ）大小有关。

自由度 ν 越小， t 分布曲线越低平；自由度 ν 越大， t 分布曲线越接近标准正态分布（ u 分布）曲线，如图 13、t 分布是一个分布族，对于不同的样本容量都对应不同的分布，且其均值都为 04、与标准正态分布相比，t 分布的中心部分较低，2 个尾部较高5、变量 t 的取值范围在 之间到图 1 自由度为 1、5、∞的 t 分布t 分布有如下性质：性质 1 令 2/)1(()nxg则 xnxn 2/)3(()(故 的解为 ，)31()1()( 22/5(2nxgn  0)(xg)2/(nx10即分布密度在 处有拐点)2/(nx性质 2 1);(limxnet性质 3 设 ，若 ，则 存在；若 ，则 不存在此点由微积ntX~r)(rXEnr)(rXE分中判别积分收敛的法则很容易看出若 ，且 为奇数，由于函数 是 的奇函数，因此，r 2/)1(2/(nrxx；若 且 为偶数，可以算得 特别0rnr )()4(1532/ rnrr  ,43,2)(,)( XVaE ,6,,021n性质 4 分布由于只有 阶矩存在，故没有矩母函数存在。

nt1n性质 5 如 和 独立同分布于 ，则随机变量 12n2ntXY~/)(2212t 分布的 分位数分布的 分位数记作 .如图所示，当 X~ 时， = .给出概率 和自由度t tntXP,可从 分布的分为表中查出 .与标准正态分布相类似 ,根据 分布密度曲线的对称性,也nt n有 ,论述同 .如果在 分布的。