专题47 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 （解析版）-高考数学备考复习重点资料归纳汇总.docx

专题47 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 【考点预测】知识点1、条件概率（一）定义一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行．（二）性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．（3）如果与互斥，则．注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么；（2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即．知识点2、相互独立与条件概率的关系（一）相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．（二）事件的独立性（1）事件与相互独立的充要条件是．（2）当时，与独立的充要条件是．（3）如果，与独立，则成立．知识点3、全概率公式（一）全概率公式（1）；（2）定理若样本空间中的事件，，…，满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，．则对中的任意事件，都有，且．注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．（2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．（二）贝叶斯公式（1）一般地，当且时，有（2）定理若样本空间中的事件满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，．则对中的任意概率非零的事件，都有，且注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率．（2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系．【题型归纳目录】题型一：条件概率题型二：相互独立事件的判断题型三：相互独立事件概率的计算题型四：相互独立事件概率的综合应用题型五：全概率公式及其应用题型六：贝叶斯公式及其应用题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用【典例例题】题型一：条件概率例1．（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）甲､乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝､农夫山泉､雪碧这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件“甲选择农夫山泉”，事件“甲和乙选择的饮品不同”，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】事件“甲选择农夫山泉”，则 事件“甲和乙选择的饮品不同”，则事件=“甲选择农夫山泉，乙选择的是加多宝或者雪碧”所以所以，故选：D例2．（2022·全国·高三专题练习（理））若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（    ）A．事件A发生的概率 B．事件B发生的概率C．事件B不发生条件下事件A发生的概率 D．事件A、B同时发生的概率【答案】A【解析】由题意可得，如图所示的涂色部分的面积为 ,故选：A例3．（2022·全国·高三专题练习）端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒．现有9个粽子，其中2个为蜜枣馅，3个为腊肉馅，4个为豆沙馅，小明随机取两个，设事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个均为豆沙馅”，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意不妨设2个蜜枣馅为：A，B，3个为腊肉馅为：a,b,c，4个为豆沙馅：1，2，3，4，则事件A为“取到的两个为同一种馅”，对应的事件为:AB,ab,ac,bc,12,13,14,23,24,34,所以，事件AB为“取到的两个为同一种馅，均为豆沙馅”，对应的事件为：12,13,14,23,24,34,所以，所以，故选：C变式1．（2022·全国·高三专题练习）如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列.已知数列的项数为4，记事件：集合，事件：为“局部等差”数列，则条件概率（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，事件共有=120个基本事件，事件“局部等差”数列共有以下24个基本事件，（1）其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个， 含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，共6个.含3，4，5的和含5，4，3的与上述（1）相同，也有6个.含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共 2个，含4，3，2的同理也有2个.含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个，含5，3，1的也有上述4个，共24个，=.故选C.变式2．（2022·江苏·南京市秦淮中学高三阶段练习）现有甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了中山陵”，则____________.【答案】【解析】甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游，共有种不同的方案，事件，“4个人去的景点各不相同”的方案有：种，事件，“只有甲去了中山陵”的方案有种，事件同时发生的方案有：种，，所以故答案为：变式3．（2022·全国·高三专题练习）已知事件A和B是互斥事件，，，，则______．【答案】【解析】由题意知，，，则．故答案为：．变式4．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．(1)若该社区约有2000人，有两种分组方式可以选择：方案一是：10人一组；方案二：8人一组．请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由；(2)我们知道核酸检测呈阳性，必须由专家二次确认，因为有假阳性的可能；已知该社区人员中被感染的概率为0.29%，且已知被感染的人员核酸检测呈阳性的概率为99.9%，若检测中有一人核酸检测呈阳性，求其被感染的概率．（参考数据：（，）【解析】(1)设方案一中每组的化验次数为，则的取值为1，11，∴，，∴的分布列为：111p0.9700.030．故方案一的化验总次数的期望值为：次．设方案二中每组的化验次数为，则的取值为1，9，，∴的分布列为：12p0.9760.024∴．∴方案二的化验总次数的期望为次．∵260<298，∴方案一工作量更少．故选择方案一.(2)设事件A：核酸检测呈阳性，事件B：被感染，则由题意得，由条件概率公式可得，∴该人被感染的概率为.【方法技巧与总结】用定义法求条件概率的步骤（1）分析题意，弄清概率模型；（2）计算，；（3）代入公式求．题型二：相互独立事件的判断例4．（2022·山东·潍坊七中高三阶段练习）已知A，B是一次随机试验中的两个事件，若满足，则（    ）A．事件A，B互斥 B．事件A.B相互独立C．事件A，B不互斥 D．事件A，B不相互独立【答案】C【解析】若事件A，B互斥，则，与事件的概率小于等于1矛盾，故事件A，B不互斥；若事件A，B相互独立，则，而题设无法判断是否成立，故无法判断事件A，B是否相互独立.故选：C.例5．（2022·湖北·荆州中学高三阶段练习）已知A，B为两个随机事件，，，则“A，B相互独立”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意，若A，B相互独立，则，故，故充分性成立；若，即，则即，故，即相互独立，故A，B相互独立，故必要性成立故“A，B相互独立”是“”的充分必要条件故选：C例6．（2022·全国·高三专题练习）若，，，则事件与的关系是（    ）A．事件与互斥 B．事件与对立C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立【答案】C【解析】∵，∴，∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.故选：C变式5．（2022·全国·高三专题练习）袋内有个白球和个黑球，从中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为，“第二次摸得黑球”记为，那么事件与，与间的关系是（    ）A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立【答案】A【解析】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故与，与C均相互独立．而与，与均能同时发生，从而不互斥．方法二：标记1，2，3表示3个白球，4，5表示2个黑球，全体样本点为，用古典概型概率计算公式易得．而事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以，所以与相互独立：同理，事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，，所以与相互独立．故选:A．变式6．（2022·全国·高三专题练习）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， “两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与 间的关系是（    ）A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立【答案】A【解析】由题意得，，所以.所以与，与均相互独立，与，与均不互斥.故选：A.变式7．（2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试）袋子里装有形状大小完全相同的4个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球上数字是1”，表示事件“第二次取出的球上数字是2”，表示事件“两次取出的球上数字之和是5”，表示事件“两次取出的球上数字之和是6”，通过计算，则可以得出（    ）A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立【答案】C【解析】由题意可得：,有放回的随机取两次，每次取1个球，两次取出的球上数字之和是5的情况有 共4种，所以;两次取出的球上数字之和是6的情况有共3种，故,对于A, ,则，故与不是相互。