北京市昌平区2013届高三上学期期末考试理科数学试题.doc

昌平区2021－2021学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷〔理科〕 〔总分值150分，考试时间 120分钟〕2021.1考生须知：1． 本试卷共6页，分第一卷选择题和第二卷非选择题两局部2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写3． 答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分4． 修改时，选择题局部用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损不得在答题卡上做任何标记5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存第一卷〔选择题 共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．〔1〕设集合，那么等于 A． B． C． D．〔2〕“〞是“直线垂直〞的 A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件〔3〕函数，那么函数的零点所在的区间是 A.〔0,1〕 B. 〔1,2〕 C. 〔2,3〕 D. 〔3,4〕〔4〕设不等式组 表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，那么此点到直线的距离大于2的概率是A. B. C. D. 〔5〕设是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，那么等于A.1 B. 2 C. 3 D. 4〔6〕在高三〔1〕班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A. 24 B. 36 C. 48 D.60〔7〕一个空间几何体的三视图如下图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为 A. B．C. D. 〔8〕函数：①，②，③.那么以下四个命题对的三个函数都能成立的是命题是奇函数； 命题在上是增函数；命题； 命题的图像关于直线对称A．命题 B．命题 C．命题 D．命题第二卷〔非选择题 共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分． 〔9〕假设，其中是虚数单位，那么实数的值是____________. 〔10〕以双曲线的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____.〔11〕在中，假设,，，那么= .〔12〕某算法的流程图如下图，那么程序运行结束时输出的结果为 ． (13)在中，，，是的中点，那么 ____________;假设是的中点，是〔包括边界〕内任一点．那么的取值范围是___________. 〔14〕在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离〞. 那么① 到坐标原点的“折线距离〞不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是_________;② 坐标原点与直线上任意一点的“折线距离〞的最小值是_____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．〔15〕〔本小题总分值13分〕函数.〔Ⅰ〕求的定义域及最小正周期； 〔Ⅱ〕求在区间上的最值. (16) 〔本小题总分值14分〕在四棱锥中，底面是正方形，为的中点. 〔Ⅰ〕求证：∥平面；〔Ⅱ〕求证：；〔Ⅲ〕假设段上是否存在点，使？假设存在，求出的值，假设不存在，请说明理由．〔17〕〔本小题总分值13分〕为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量〔单位：毫克〕.下表是测量数据的茎叶图： 甲厂 乙厂 9 0 3 9 6 5 8 1 8 4 5 6 9 0 3 1 5 0 3 2 1 0 3 规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品.〔Ⅰ〕试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；〔Ⅱ〕从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数的分布列及其数学期望；〔Ⅲ〕从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．〔18〕〔本小题总分值13分〕函数〔〕.〔Ⅰ〕假设函数的图象在点P〔1，〕处的切线的倾斜角为，求在上的最小值；〔Ⅱ〕假设存在，使，求a的取值范围．〔19〕〔本小题总分值13分〕椭圆的对称轴为坐标轴, 离心率为且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆上，为坐标原点. 求点到直线的距离的最小值．〔20〕〔本小题总分值14分〕每项均是正整数的数列，其中等于的项有个，设，〔Ⅰ〕设数列，求；〔Ⅱ〕假设中最大的项为50， 比拟的大小；〔Ⅲ〕假设，求函数的最小值．昌平区2021－2021学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试卷 参考答案〔理科〕一、选择题(本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．) 题 号 〔1〕 〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕 答案 C A B D C D B C二、填空题〔本大题共6小题，每题5分，共30分．〕 〔9〕 〔10〕 〔11〕 3 〔12〕4 〔13〕 2; [-9,9] 〔14〕 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．)〔15〕(本小题总分值13分)解：〔Ⅰ〕由得(Z)，故的定义域为RZ}．…………………2分因为，………………………………6分所以的最小正周期．…………………7分 〔II〕由 …………..9分 当，…………….11分 当.……………….13分〔16〕(本小题总分值14分)解：〔I〕连接. 由是正方形可知,点为中点. 又为的中点， 所以∥………………….2分 又 所以∥平面………….4分(II) 证明：由 所以由是正方形可知, 又 所以………………………………..8分 又 所以…………………………………………..9分(III)解法一： 段上存在点，使. 理由如下： 如图，取中点，连接. 在四棱锥中，， 所以.…………………………………………………………………..11分 由〔II〕可知，而 所以， 因为 所以…………………………………………………………. 13分 故段上存在点，使.由为中点，得…………………………………………… 14分 解法二：由且底面是正方形，如图，建立空间直角坐标系 由设，那么设为线段上一点，且，那么…………………………..12分由题意，假设线段上存在点，使，那么，.所以，，故段上存在点，使，且…………………… 14分〔17〕(本小题总分值13分)解：〔I〕甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为 乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为………………..2分 〔II〕的取值为0，1，2，3. 所以的分布列为 0 1 2 3 故……………………9分 (III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件〞，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件〞抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为…13分〔18〕(本小题总分值13分) 解：〔I〕 …………………………. ……………1分 根据题意， …………………3分 此时，,那么. 令 -+↘↗…………………………………………………………………………………………. 6分 ∴当时，最小值为. ………………………7分 〔II〕 ①假设上单调递减. 又 …………………………………………..10分 ②假设 从而在〔0，上单调递增，在〔，+上单调递减. 根据题意， …………….............................. 13分 综上，的取值范围是.〔19〕(本小题总分值13分)解：〔I〕由抛物线的焦点为,故设椭圆方程为， 那么所以椭圆的方程为……5分〔II〕当直线斜率存在时，设直线方程为，那么由 消去得，， …………………6分， ①…………7分设点的坐标分别为，那么：，…………8分 由于点在椭圆上，所以 . ……… 9分 从而，化简得，经检验满足①式. ………10分 又点到直线的距离为： ………11分 当且仅当时等号成立 ………12分当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，从而点的坐标为，直线的方程为，所以点到直线的距离为1 . 所以点到直线的距离最小值为 . ………13分〔20〕(本小题总分值14分)解: (I) 因为数列， 所以， 所以 …………………4分 (II) 一方面，，根据的含义知， 故，即 ， ① 。