山东省济宁市2024-2025学年高一下学期期末考试 数学试卷.docx

山东省济宁市 2024-2025 学年高一下学期 7 月期末质量检测数学试题一、单选题1. 已知 z = 1- i ，则 z = （ ）2A.1 B．C．D．232. 若数据 x1 , x2 , x3 ,×××, x10 的平均数为 2，则数据2x1 -1, 2x2 -1, 2x3 -1,×××, 2x10 -1的平均数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．43. 用斜二测画法画出平面四边形OABC 的直观图为菱形O¢A¢B¢C¢ ，如图所示，其中O¢A¢ = 2 ，ÐA¢O¢C¢ = π ，4则四边形OABC 的面积为（ ）A．1 B．2 C．4 D．84. 为了得到 f ( x) = sin æ 3x + π ö 的图象，可将 y = sin3x 的图象（ ）ç 6 ÷πA. 向左平移18C πè øπ个单位长度 B．向右平移18D π个单位长度．向左平移6个单位长度．向右平移6个单位长度5. 已知平面α， β和直线m ， n ，则下列结论正确的是（ ）A. 若m / /α， n / /α，则m / /n B．若m ^α， m ^ n ，则n / /αC．若m ^α， n ^ α，则m / /n D．若α^ β， m ^ β，则m / /α→ →6. 已知 a = 2 ， b = 1，且a ， b 的夹角为30°，则b 在a 上的投影向量为（ ）1 →A． a43 →B． a41 →C． a23 →D． a27. 如图，在ft脚A 测得ft顶 P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走100m ，到达 B 处，在 B 处测得ft顶P 的仰角为γ，已知α= π ， β= π ，γ= 5π ，则ft高 PQ = （ ）4 6 12A. 100m B．150m C． 200m D． 250m2–––→ 1 –––→ –––→ –––→ 1 –––→8. 已知正三角形 ABC 的边长为 2， AE =（ ） ( AB + AC )， AF = AC ， AE 与 BF 相交于点O ，则cosÐEOF =3A. - 37B. - 2 37C. - 217D. - 2114二、多选题9. 已知a ， b ， c 都是非零向量，则下列结论正确的是（ ）( ) ( )→ → → → → →A. a × b c = a b × c→ → → →C．若a ^ b ，则 a + b = a - b→ → → →B. a × b £ a bD．若a × b = a × c ，则b = c10. 某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长.现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025 年 5 月份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是（ ）A. 频率分布直方图中a = 0.015B．2025 年 5 月份对该市旅游的游客满意度得分的中位数近似值为 80C．2025 年 5 月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为 78D．若落在[80, 90) 的平均成绩 x = 85 ，方差s2 = 6 ，落在[90,100] 的平均成绩 y = 95 ，方差s2 = 11 ，则落1 2在[80,100] 的平均成绩为 87，落在[80,100] 的成绩的方差为 2311. 在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， M ， N 分别为 AB ， C1D1 的中点，则下列结论正确的是（ ）A. 正方体 ABCD - A B C D 内切球的体积为 4π1 1 1 1 3B. MN 与 AA1 所成角为30°6 2C. 平面 A1MN 截正方体 ABCD - A1B1C1D1 的截面面积为2D. 底面半径为2，高为2(3 - 1) 的圆柱，能整体放入该正方体中三、填空题12. 已知向量a = ( x, 2) ， b = (3, -2) ，若a ^ b ，则 x = .13. 某校数学兴趣社团有男生 50 人，女生 30 人，现用比例分配的分层抽样方法从中抽取容量为 24 的样本，则应抽取男生的人数为 .14. 已知V ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且sinA = sinBsinC ，若V ABC 的外接圆的半径为 1，则a 的最大值为 .四、解答题15. 已知复数 z = a2 - 2a - 3 + (a +1)i(a Î R ) .(1) 若复数 z 为纯虚数，求实数a 的值；A 型号10111213141110111513B 型号11131011121014121215(2) 当a = 1 时，复数 z 是关于 x 的方程 x2 - mx + n = 0 的一个根，求实数m ， n 的值. 16．某科技公司测试两款新型无人驾驶配送车型（A 型号与 B 型号）在复杂城市环境中的配送效率.记录了在 10 次典型任务中，两种型号车的配送时间（单位：分钟）分别为：已知该公司要求配送时间不超过 15 分钟，且配送时间越稳定，配送效率越高.(1) 分别计算A 、 B 两种型号车的配送时间的平均数和方差；(2) 根据计算结果分析，哪种型号更符合公司的要求.→ → 2 æ π öè2ø17. 已知a = (m,1) ， b = (1, 3 )， c = (cos θ, sinθcosθ)ç 0 <θ< ÷ .( )→ → →(1) 若a ∥ 2b - a ，求m 的值；(2) 若b × c = 1 ，求θ的值.18. 设V ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知csinB +3bcosC =3a ， a = 2 .(1) 求角 B 的大小；(2) 若点M 在直线 AB 上，当VBCM 为锐角三角形时，求2CM + BM 的取值范围.19. 如图，在三棱锥 P - ABC 中， PC ^ AC ， CA ^ AB ， CA = AB = 2 ， PC = 4 .(1) 若G 为△PBC 的重心，点 H 在棱 PA 上，且 PH = 2HA ，求证： GH / / 平面 ABC ；(2) 若三棱锥 P - ABC 外接球的表面积为20π .（i） 求二面角C - PA - B 的余弦值；（ii） 若点 E 是棱 PA 上的动点（异于端点），求直线 BE 与平面 ABC 所成角的取值范围.题号12345678910答案BCDACBACBCABD题号11答案ACD1．B根据题意可得 z = 1 + i ，进而可得模长.【详解】因为 z = 1- i ，则 z = 1 + i ，12 +122所以 z = = .故选：B.2．C根据平均数性质直接计算得解.【详解】若数据 x1 , x2 , x3 ,×××, x10 的平均数为 2，则数据2x1 -1, 2x2 -1, 2x3 -1,×××, 2x10 -1的平均数为2 ´ 2 -1 = 3 .故选：C 3．D根据斜二测画法可作出原图形，得到原图形是长为 2 宽为 4 的矩形，接着求面积即可.【详解】根据斜二测画法原图如下：OA = O¢A¢ = 2, OC = 2O¢C¢ = 4 ，所以四边形OABC 的面积为 8.故选：D.4．A根据函数平移前后解析式的变化规律可解.πy = æπ ö æ π ö【详解】将 y = sin3x 向左平移18故选：A. 5．C个单位长度得到sin3ç x + ÷ = sin ç 3x + ÷ ，18 6è ø è ø根据线面、面面关系的判定定理和性质定理逐一分析即可得解.【详解】对于 A，若m / /α， n / /α，则m / /n 或异面或相交，故 A 错误；对于 B，若m ^α， m ^ n ，则n / /α或n Ìα，故 B 错误；对于 C，若m ^α， n ^ α，则m / /n ，故 C 正确；对于 D，若α^ β， m ^ β，则m / /α或m Ìα，故 D 错误. 故选：C6．B由投影向量定义直接计算即可.→ → → → ∘3b · a·b · a = a·b → 2 ´1´cos 30 → →【详解】由题可得b 在a 上的投影向量为→ → →→ 2 ·a =a = a .a b a a 4 4故选：B7．A过 B 作 AQ, PQ 的垂线，设 PQ = h ，解得 PD = h - 50, QC = h - 50【详解】过 B 作 AQ, PQ 的垂线，设 PQ = h ，，利用tan β= PD ，然后解方程即可.3QCAB = 100,α= ÐPAQ = π ,β= ÐBAQ = π ,γ= ÐPBD = 5π ，\ BC = 50, AC = 5043， PQ = AQ = h ，6 123PD = h - 50, QC = h - 50 ，3 + 33 - 31+ 33tan β= PD =h - 50= tan 5π = tan æ π + π ö =3 = = 2 + ，QC解得h = 100 .故选：A. 8．Ch - 50 34 612–––→ç ÷è ø–––→1- 33–––→ –––→由题意依次求得 AE·BF 、 AE 和 BF 即可由cosÐEOF = cosAE, BF计算得解.–––→1 –––→ –––→–––→1 –––→ –––→–––→ –––→ –––→ –––→1∘【详解】由题可得 BF =AC - AB ， AE =3( AB + AC )， AC·AB = AC AB cos 60= 2 ´ 2 ´ = 2 ，22–––→ –––→1 –––→ –––→ 。