云南省德宏州2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷.docx

2024-2025 学年云南省德宏州高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知 = 3 − 4，则 − ( ) ⋅ =7A. B. 5 C. 7 D. 252.已知向量̅→ = (1,2)，̅→ = (2, )，且̅→ ⊥ ̅→，则 =( )A. 4 B. 1 C. −1 D. −43. 若，是不相同的直线，，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是( )A. 若//，//，则// B. 若//， ⊂ ，则//C. 若//，//，则// D. 若//， ⊂ ，则//4. 在△ 𝐵中，点满足̅̅̅̅→ = 4̅̅𝐵̅̅→，则( )A. ̅̅̅̅→ = 1 ̅̅̅→ + 3 ̅̅𝐵̅̅→ B. ̅̅̅̅→ = 3 ̅̅̅→ + 1 ̅̅𝐵̅̅→4 4 4 4C. ̅̅̅̅→ = 1 ̅̅̅→ + 4 ̅̅𝐵̅̅→ D. ̅̅̅̅→ = 4 ̅̅̅→ + 1 ̅̅𝐵̅̅→5 5 5 55. 在△ 𝐵中，内角、𝐵所对的边分别是、，且𝑐𝑠 = 𝑐𝑠𝐵，则△ 𝐵是( )A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形6. 在平行六面体𝐵 − 1𝐵111中∠𝐵 = 90°，𝐵 = = 1 = 1，∠𝐵1 = ∠1 = 60°.取棱𝐵11的中点，则|̅̅̅̅→| =( )第 8页，共 8页3A. 152C. 10B. 1523D. 107. 甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )2A. 1B. 3C. 2D. 35348.如图，，𝐵是海面上位于东西方向相距(3 + 3)海里的两个观测点，现位于点北偏东 45°、𝐵点北偏西 60°的点有一艘船发出求救信号，位于𝐵点南偏西 60°且与𝐵点相距 4 3海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为( )A. 0.2 小时 B. 0.3 小时 C. 0.5 小时 D. 1 小时二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.给定数 5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的( )A. 中位数为 3 B.8方差为5C. 众数为 3 D. 85%分位数为 4.510. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是( )A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D. “至少有一个黑球”与“都是红球”11.如图，在矩形𝐸中，𝐸 = 2 3，𝐸 = 4，𝐵为𝐸中点，现分别沿𝐵，𝐵将△ 𝐵𝐸、△ 𝐵翻折，使点𝐸，重合，记为点，翻折后得到三棱锥 − 𝐵，则( )3A. 三棱锥 − 𝐵的体积为8 26B. 直线与直线𝐵所成角的余弦值为 33C. 直线与平面𝐵所成角的正弦值为12D. 三棱锥 − 𝐵外接球的半径为 22三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.有一批产品，其中一等品 10 件，二等品 25 件，次品 5 件，现用按比例分层随机抽样的方法从这批产品中抽出 16 件进行质量分析，则抽取的一等品有 件.13 1 2.已知圆锥的底面半径为 ，侧面展开图是圆心角为 3 的扇形，则该圆锥的表面积为 ．14.如图，扇形𝑂𝐵的弧的中点为，动点，分别段𝑂，𝑂𝐵上，且𝑂 = 𝐵.若𝑂 = 1，∠𝑂𝐵 = 120°，则̅̅̅̅→ ⋅ ̅̅̅̅̅→的取值范围是 ．四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题 12 分)如图所示，在四棱锥 − 𝐵𝐸中，四边形𝐵𝐸是正方形，点，分别是线段𝐸，𝐵的中点．(1)求证：//平面𝐵；(2)是线段𝐵的中点，证明：平面//平面．16.(本小题 12 分)某校高二年组组了一次专题培，从参加考试的学生中出 100 名学生，将其成(均为整数)分成为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)分为 5 组，得到如图所示的率分布直方图：(1) 求分数值不低于 70 分的人数；(2) 计这次考试的平均数和中位数(保留两位小数)；(3) 已知分数在[50,60)内的男性与女性的比为 3：4，为提高他们的成绩，现从分数在[50,60)的人中随机抽取 2 人进行补课，求这 2 人中只有一位男性的概率．17.(本小题 12 分)猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有 20 道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了 12 道，乙同学猜对了 8 道，丙同学猜对了道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．(1) 任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；(2) 任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为18.(本小题 12 分)22 求，25的值．在△ 𝐵中，角，𝐵，的对边分别是，，𝑐，向量̅̅→ = (2 + 𝑐, 𝑠)，向量̅→ = (𝑠𝐵, 2𝑐 + )，且满足̅̅→ ⋅ ̅→ = 2𝑠．(1) 求角的大小；(2) 若△ 𝐵外接圆的半径是 1，求当函数(𝐵) = 𝑐𝑠2𝐵 − 4𝑐𝑠𝑠𝐵取最大值时△ 𝐵的周长．19.(本小题 12 分)如图，𝐵是⊙ 𝑂的直径，𝐵 = 2，点是⊙ 𝑂上的动点， ⊥平面𝐵，过点作𝐸 ⊥ ，过点𝐸作𝐸 ⊥ 𝐵，连接．(1)求证：𝐵 ⊥ 𝐸；(2)求证：平面𝐸 ⊥平面𝐵；(3) 当为弧𝐵的中点时，直线与平面𝐵所成角为 45°，求四棱锥 − 𝐸𝐵的体积．参考答案1.D2.C3.D4.C5.A6. 𝐵B7. D8. A9. 𝐵AB10.A𝐵11.ABD12.413.14.[ 3 , 1 ]8 215.证明：(1)在四棱锥 − 𝐵𝐸中，四边形𝐵𝐸是正方形，点，分别是线段𝐸，𝐵的中点，连接𝐸必与𝐵相交于中点，∴ //，∵ ⊄面𝐵， ⊂平面𝐵，∴ //面𝐵，得证；(2)由点，分别为𝐸，𝐵中点，可得：//𝐸𝐵//，∵ ⊄面， ⊂平面，∴ //平面，又∵由(1)可知//平面，且 ∩ = ，， ⊂平面，∴平面//平面，得证．16.解：(1)由频率分布直方图可知满意度分数不低于 70 分的人数为：(0.035 + 0.030 + 0.008) × 10 × 100 = 73 人，所以分数不低于 70 分的人数为 73 人．(2) 平均分：55 × 0.07 + 65 × 0.2 + 75 × 0.35 + 85 × 0.3 + 95 × 0.08 = 76.2．中位数：( − 70) × 0.035 = 0.23， = 70.66．(3)[50,60)的样本内共有学生 0.007 × 10 × 100 = 7 人，3 名男性，4 名女性，设三名男性分别表示为，𝐵，，四名女性分别表示为，𝐸，，，则从 7 名学生中随机抽取 2 名的所有可能结果为：{, 𝐵}，{, }，{, }，{, 𝐸}，{, }，{, }，{𝐵, }，{𝐵, }，{𝐵, 𝐸}，{𝐵, }，{𝐵, }{, }，{, 𝐸}，{, }，{, }{, 𝐸}，{, }，{, }{𝐸, }，{𝐸, }{, }，共 21 种．设事件为“抽取 2 人中只有一位男性”，则中所含的结果为：{, }，{, 𝐸}，{, }，{, }{𝐵, }，{𝐵, 𝐸}，{𝐵, }，{𝐵, }{, }，{, 𝐸}，{, }，{, }，共 12 种．事件发生的概率为() = 12 = 4．21 717.解：(1)设 =“任选一道灯谜甲猜对”，𝐵 =“任选一道灯谜乙猜对”， =“任选一道灯谜丙猜对”，则() = 12 = 3 (𝐵) = 8 = 2 () = ，，20 5− 2 − 3，20 5 20− 550故() = ，(𝐵) = ，() = 1 − 2 ，所以任选一道灯谜，求，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为3 × 3 + 2 × 2 = 13．(2)设 =“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则() = 1 − 2 × 3 × (1 − ) = 225 5 5 5 255 5解得 = 10，，20 25即的值为 10．18.解：(1)向量̅̅→ = (2 + 𝑐, 𝑠)，向量̅→ = (𝑠𝐵, 2𝑐 + )，由已知̅̅→ ⋅ ̅→ = 2𝑠，得 2𝑠 = (2 + 𝑐)𝑠𝐵 + (2𝑐 + )𝑠，再根据正弦定理有，22 = (2 + 𝑐) + (2𝑐 + )𝑐，即2 = 2 + 𝑐2 + 𝑐．，2由余弦定理得，2 = 2 + 𝑐2 − 2𝑐𝑐𝑠，𝑐𝑠 =− 13 ．因为 ∈ (0, )，所以 = 2(2)由(1)知(𝐵) = 𝑐𝑠2𝐵 + 2𝑠𝐵 = 1 − 2𝑠2𝐵 + 2𝑠𝐵 =− 2(𝑠𝐵 − 1 )2 + 3．2 23因为 0 < 𝐵 < ，2所以𝑠𝐵 ∈ (0, 3 )．因此当𝑠𝐵 = 1 (𝐵) 3时，2此时 = 2𝑠 = 3， = 𝑐 = 2𝑠𝐵 = 1．有最大值2．故△ 𝐵的周长是 2 + 3．19.(1)证明：因为 ⊥平面𝐵，𝐵 ⊂平面𝐵，所以 ⊥ 𝐵，又因为𝐵是⊙ 𝑂的直径，点是⊙ 𝑂上的动点，可得𝐵 ⊥ ，因为 ∩ = ，所以𝐵 ⊥平面，𝐸 ⊂平面，所以𝐵 ⊥ 𝐸；(2)证明：过点作𝐸 ⊥ ，过点𝐸作𝐸 ⊥ 𝐵，由(1)可得 ∩ 𝐵 = ，所以𝐸 ⊥平面𝐵，而𝐵 ⊂平面𝐵，所以𝐸 ⊥ 𝐵，𝐸 ∩ 𝐸 = 𝐸，所以𝐵 ⊥平面𝐸，而𝐵 ⊂平面𝐵，所以平面𝐸 ⊥平面𝐵；(3) 解：由(2)可得𝐸 ⊥平面𝐸𝐵，则直线与平面𝐵所成角为 45°，可得∠ = 45°，可得 = ，因为当为弧𝐵的中点时，𝐵 = 2，可得 = 𝐵 = 2，可得到平面𝐸𝐵的距离为𝐸 = 1 = 1 ⋅ 2 = 1，2 2因为 ⊥ 𝐵， = 𝐵，所以为𝐵的中点，所以𝐸为△ 𝐵的中位线，所以𝐸//𝐵，且𝐸 = 1 𝐵 = 2，2 2由(1)可得四边形𝐸𝐵为直角梯形，𝐸 = 𝐸 。