吉林省、黑龙江省六校联考2024-2025学年高一下学期7月期末考试 数学试卷.docx

吉林省、黑龙江省六校联考 2024-2025 学年高一下学期 7 月期末考试数学试题一、单选题1. 若A ， B 为互斥事件，则A. P( A) + P(B) < 1C． P( A) + P(B) = 1B. P( A) + P(B) £ 1D． P( A) + P(B) > 12. 已知锐角三角形边长分别为4, 3, x ，则 x 的取值范围是（ ）A． (1, 7 )B． (1, 5) C． (7, 7)D． (7, 5)3. 如图，在直角梯形 ABCD 中， AB ^ AD, AB / /CD, AB = 3, CD = 1, AD =A¢B¢C¢D¢ 的面积为（ ）2 ，则直角梯形 ABCD 的直观图22A．8 B． 2 C．1 D．4. 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在下图两种分布形态中， a,b,c, d 分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是（ ）A. a 为中位数， b 为平均数， c 为平均数， d 为中位数B. a 为平均数， b 为中位数， c 为平均数， d 为中位数C. a 为中位数， b 为平均数， c 为中位数， d 为平均数D. a 为平均数， b 为中位数， c 为中位数， d 为平均数5. 空间中有两个不同的平面α,β和两条不同的直线m, n ，则下列说法错误的是（ ）A. 若α^ β, m ^ α, n ^ β，则m ^ nB. 若α^ β,αÇ β= n, m ^ n ，则m ^ βC. 若α// β, m ^α, n // β，则m ^ nD. 若n ^α, n ^ β, m ^α，则m ^ β6．2024 年巴黎奥运会奖牌榜前 8 名的金牌数依次为 40，40，20，18，16，15，14，13，则这组数据的上四分位数为（ ）A．40 B．30 C．15 D．14.57. 类比思想是学习数学的一种重要的思想方法，是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的一种思维方法．在平面几何中，有如下命题“正三角形 ABC 的高为h, O是V ABC 内任意一点，O 到三边的距离分别为d , d , d ，则 d1 + d2 + d3 为定值”．证明如下：设正三角形 ABC1 2 3 h边长为a ，高h, O 到三边的距离分别d1 , d2 , d3 ，则： SV AOB + SV BOC + SVCOA = SV ABC ，即：1 ad + 1 ad + 1 ad = 1 ah ，化简得， d + d + d = h ，\ d1 + d2 + d3 = 1 （定值）．类比此命题及证明方法， 2 1 22 2 3 21 2 3 h356在立体几何中可解决以下问题，正四面体 P - ABC 中， AB = 6 ，若点M 是正四面体 P - ABC 内任意一点，点M 到平面 ABC ，平面 PAB ，平面 PBC ，平面 APC 的距离分别为d1 , d2 , d3 , d4 ，则d1 + d2 + d3 + d4 = （ ）2A． 2B． 2C． 2D． 28. 某班准备从全班 50 人中选一人参加学校活动，投票结果甲乙丙三人票数并列第一，现决定抽签的方式在甲乙丙中确定最终人选，抽签规则如下，班主任掷骰子确定三人抽签顺序，抛掷一枚均匀的骰子，每个点数对应一种抽签顺序，然后甲乙丙按照相应顺序依次从装有大小形状完全相同的两白一红三个小球的盒子里不放回的各自取一球，取到红球即胜出，则甲胜出的概率为（ ）A． 13二、多选题B． 150C． 1150D． 1189. 设复数 z = 1 + 3 i ，其中i 是虚数单位， z 是 z 的共轭复数，下列判断中正确的是（ ）2 2A. zz = 1B. 4z > z + 3 3 i2C. z2 = 1D. z 2 = 110. 以下叙述不正确的是（ ）A. 若事件 A, B,C 两两独立，则 P ( ABC ) = P ( A) P ( B) P (C )B. 若 P ( ABC ) = P ( A) P ( B) P (C ) ，则事件 A, B,C 两两独立C. 若 P ( A + B + C ) = P ( A) + P ( B) + P (C ) ，则事件 A, B,C 两两互斥D. 若事件 A, B,C 两两互斥，则 P ( A + B + C ) = P ( A) + P ( B) + P (C )11. 已知平面直角坐标系中三个点 A(-1, 3 ), B (0, 0), C (3, 3 ) ，则下列说法正确的是（ ）A. 若四边形 ABCD 为平行四边形，则 D 点坐标为(4, 0)B. 以A 为圆心，作一个半径为 1 的圆，点 P 为该圆上的任意一点， AC = λAB + μAP ，若λ+ μ为正值， 则λ+ μ的最小值为 4ABC. 若–––→ 与 AB + m AC 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为(-1, +¥)D. 与∠ABC 的角平分线所在直线平行的一个向量的坐标为(三、填空题3 -1, 3 +1)12. 如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边 B4C4 上有 10 个不同的点，P1 , P2 ×××, P10 ，记mi = AB2 × APi (i = 1, 2, 3,×××,10) ，若m1 + m2 + ××× + m10 = 540 ，则等边三角形的边长为 .13. 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a, b Î{1, 2, 3, 4, 5, 6} ，若 a - b £ 1 ，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 .14. 如图，在直角梯形 ABCD 中， AB//CD, AB ^ BC, AB = 2CD = 2 ， AD = 6 ，以 BC 边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．一只蚂蚁在形成的几何体上从点A 绕着几何体的侧面爬行一周回到点A ，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．四、解答题15. 为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为 400 的样本，测量它们的尺寸（单位：mm），并将数据分为[92, 94),[94, 96),[96, 98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106]七组，其频率分布直方图如图所示．(1) 求 x 值；(2) 根据频率分布直方图，求 400 件样本中尺寸在[98,100) 内的样本数；(3) 已知利用分层随机抽样从第一、二组共抽出十二个数据，从第一组，第二组抽出的数据的标准差分别为 12和，平均值分别为 93 和 94.5，求抽出数据的均值和方差．参考公式：若总体划分为 2 层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m, x, s2 ； n, y, s2 记总的样本平均数为ω，样本方差为s2 ，则s2 = 1 {m és2 + ( x -ω)2 ù + n és2 + ( y -ω)2 ù}．1 2 m + n ë 1û ë 2 û16. 如图，在多面体 ABCDE 中， AE = BE =13 ， AB =2 AC =2BC = 4 ， CD ^ AB ，平面 ACD ^ 平面ABC .(1) 证明： CD ^ 平面 ABC .(2) 已知CD = 3 ，平面 ABC ^ 平面 ABE ， F 是线段 AB 的中点.①证明：四边形CDEF 为矩形.②求多面体 ABCDE 的体积.17. 如图四边形 ABCD 中， BC = 2CD = 8, AB = AD = 65(1) 若V ABC 的面积为8，且 B 为锐角，求 AC 的长度．(2) 试问2 cos B - cos D 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由，(3) 求四边形 ABCD 面积的最大值．18. 如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PA ^ 平面 ABCD ，底面 ABCD 为梯形， BC //AD ，平面 PAB ^ 平面PBC ，且 AB = BC = 2 ， PA = AD = 4 .(1) 若平面 PBC 与平面 PAD 相交于直线l ，求证： BC //l ；(2) 求l 与 AC 所成的角；(3) 求二面角C - PD - A 的余弦值．19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．托里拆利确定费马点的方法如下：①当V ABC 三个内角均小于120∘ 时，满足ÐAOB = ÐBOC = ÐCOA = 120o 的点O 为费马点；②当V ABC 有一个内角大于或等于120∘ 时，最大内角的顶点为费马点．请用以上知识解决下面的问题：已知V ABC 的内角A 、 B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，点M 为V ABC 的费马点， c = 1且sinB = sinC = cosBsinA(1) 求角C ；(2) 求MA × MB + MB × MC + MA × MC ；–––→ –––→ –––→ –––→ –––→ –––→(3) 已知在V ABC 中，若点 P 为V ABC 平面上任意一点，求 AP - AB + AP - AC + PB - AC 的最小值．题号12345678910答案BDCABBDAADAB题号11答案BD1．B【详解】因为 A,B 互斥，但 A,B 不一定对立，所以 P ( A) + P ( B) £ 12．D根据已知，利用三角形三边关系及余弦边角关系列不等式求边长的范围.【详解】由三角形三边关系有1 < x < 7 ，又三角形为锐角三角形，77若 x < 4 ，则 x2 + 9 > 16 ，可得 x > ，即 < x < 4 ，若 x ³ 4 ，则32 + 42 > x2 ，可得 x < 5 ，即4 £ x < 5 ，7综上，< x < 5 .故选：D 3．C根据已知求原图的面积，再由斜二测画法中原图与直观图面积关系求结果.【详解】由题设SABCD= 1 ´ AD ´(CD + AB) = 2 ，22由SA¢B¢C¢D¢ =2 =S4 ABCD2 ´ 224= 1.故选：C 4．A在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数是每组频率的中间值乘频数再相加之和，由此能求出结果．【详解】解：在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数是每组频率的中间值乘频数再。