转动惯量的另一种解法.docx

求物体转动惯量的另一种解法求物体转动惯量的另一种解法王昊天王昊天 班号班号 03111001(车辆工程一班车辆工程一班) 学号学号 1120100496摘要摘要: 本文通过对地球转动惯量的讨论，引出一种解决刚体在公转过程中同也在自转时的本文通过对地球转动惯量的讨论，引出一种解决刚体在公转过程中同也在自转时的 转动惯量的求法转动惯量的求法 关键字关键字: 转动惯量、自转惯量、公转惯量转动惯量、自转惯量、公转惯量 1、、 引言引言 关于转动惯量的求法，关于转动惯量的求法， 《《大学物理大学物理》》已经做了详细的阐述书中主要涉及了两种情已经做了详细的阐述书中主要涉及了两种情 况：转轴通过质心，以及转轴不通过转动中心但是，这是否包含所有情况呢？答案况：转轴通过质心，以及转轴不通过转动中心但是，这是否包含所有情况呢？答案 是否定的是否定的 举一个简单的例子：地球围绕太阳旋转（假定地球自转不受太阳的影响，且地球举一个简单的例子：地球围绕太阳旋转（假定地球自转不受太阳的影响，且地球 半径不忽略，地球公转轨道为圆形）半径不忽略，地球公转轨道为圆形） ，此时地球的转动惯量如何求解呢？假设地球半径，此时地球的转动惯量如何求解呢？假设地球半径 为为 r,质量为质量为 M，公转半径为，公转半径为 R，若按照常规解法，运用平行轴定理，很容易得到，若按照常规解法，运用平行轴定理，很容易得到 。

但是根据转动惯量的定义但是根据转动惯量的定义:““刚体由刚体由 N 个质点组成，绕个质点组成，绕 z 轴旋转，轴旋转，𝐽 =2 5𝑀𝑟2+ 𝑀𝑅2……”……” ，显然地球的例子就不适应了，因为地球不但有公转还有自转，严格意义上讲，，显然地球的例子就不适应了，因为地球不但有公转还有自转，严格意义上讲， 地球上的每个质点绕太阳旋转的轨迹不再是圆，而是一种复杂的摆线，从而传统的平地球上的每个质点绕太阳旋转的轨迹不再是圆，而是一种复杂的摆线，从而传统的平 行轴定理是错误的下面我将介绍另一种自创的方法，当然不一定正确，但是由生活行轴定理是错误的下面我将介绍另一种自创的方法，当然不一定正确，但是由生活 经验来看，也是有一定道理的经验来看，也是有一定道理的 2、、 介绍介绍 首先，定义两种惯量：首先，定义两种惯量： 自转惯量自转惯量 J’ :刚体围绕通过其质心的轴转动时的转动惯量刚体围绕通过其质心的轴转动时的转动惯量 公转惯量公转惯量 J’’：将刚体抽象为质点时围绕某一转轴的转动惯量将刚体抽象为质点时围绕某一转轴的转动惯量 认为认为:任何旋转的物体任何旋转的物体,其转动惯量其转动惯量 J=J’+J’’。

下面进行证明下面进行证明 证：证： 对于质点对于质点 假设某一质点绕某一转轴旋转，假设某一质点绕某一转轴旋转， 情况一：转轴通过质点；情况一：转轴通过质点；J’=0，，J’’=0,J=J’+J’’=0; 显然公式成立显然公式成立 情况二：转轴不通过质点，且质点距转轴为情况二：转轴不通过质点，且质点距转轴为 R,J’=0，，J’’=M,J=M,𝑅2𝑅2显然公式成立显然公式成立 对于细杆对于细杆 假设某一细杆，长度为假设某一细杆，长度为 l，质量为，质量为 m情况一：转轴通过细杆质心，显然成立情况一：转轴通过细杆质心，显然成立情况二：转轴不通过细杆质心，质心距转轴为情况二：转轴不通过细杆质心，质心距转轴为 ，，𝑙 2J’= m , J’’= m ，，J=J’+J’’= m ,显然成立显然成立1 12𝑙21 4𝑙21 3𝑙2同理可证，当物体为圆环，圆盘，薄球壳，球体时，应用平行轴定理都可证明公式同理可证，当物体为圆环，圆盘，薄球壳，球体时，应用平行轴定理都可证明公式成立对于地球这种既有自转又有公转的刚体，公式同样适用对于地球这种既有自转又有公转的刚体，公式同样适用 首先，我们要先讨论自转惯量的存在条件。

首先，我们要先讨论自转惯量的存在条件假设一物体如图所示，假设一物体如图所示，情况一：其圆盘部分相对于盘的中心轴固定不动情况一：其圆盘部分相对于盘的中心轴固定不动 俯视圆盘，以盘中心为参考系，以图中位置为起点，按照时间顺序选取四个不同的位俯视圆盘，以盘中心为参考系，以图中位置为起点，按照时间顺序选取四个不同的位 置：置：1 2 3 4显然，圆盘相对于轴是在自转的，但是它的自转不是自由的，圆盘与支撑杆间是显然，圆盘相对于轴是在自转的，但是它的自转不是自由的，圆盘与支撑杆间是 固定的，不能转动的此时，我们说，此圆盘具有转动惯量固定的，不能转动的此时，我们说，此圆盘具有转动惯量 情况二：圆盘可以绕中心轴无摩擦的旋转，且圆盘相对于轴静止，无自转情况二：圆盘可以绕中心轴无摩擦的旋转，且圆盘相对于轴静止，无自转 同样取四个位置：同样取四个位置：显然，圆盘保持静止，并没有因支撑杆的运动改变状态假如给圆盘一个初始的显然，圆盘保持静止，并没有因支撑杆的运动改变状态假如给圆盘一个初始的 转动惯量，使其自转，那么，它的自转也不会被影响，即圆盘的转动时自由的，是不转动惯量，使其自转，那么，它的自转也不会被影响，即圆盘的转动时自由的，是不 受其公转影响的。

这可以由动量守恒定理证出，此处不再赘述此时，我们说圆盘不受其公转影响的这可以由动量守恒定理证出，此处不再赘述此时，我们说圆盘不 具有自转惯量具有自转惯量有了上述讨论，求地球的转动惯量就容易了有了上述讨论，求地球的转动惯量就容易了 即即 J=M𝑅2关于此结果的正确性，以本人的能力就无法验证了关于此结果的正确性，以本人的能力就无法验证了下面，举例说明此定理的应用下面，举例说明此定理的应用 例例 1 1 一一双星系统由两颗行星组成，一颗行星质量为双星系统由两颗行星组成，一颗行星质量为，另一颗为，另一颗为，其间距离为，其间距离为 R R，求：，求：𝑀1𝑀2两颗行星的转动惯量两颗行星的转动惯量解：设质量为解：设质量为的行星公转半径为的行星公转半径为，质量为，质量为的行星公转半径为的行星公转半径为，则有，则有𝑀1𝑅1𝑀2𝑅2;𝑀1𝑅1= 𝑀2𝑅2=R;𝑅1+ 𝑅2得：得：= = 𝑅1𝑀2𝑅𝑀1+ 𝑀2𝑅2𝑀1𝑅𝑀1+ 𝑀2行星无自转惯量，只有公转惯量行星无自转惯量，只有公转惯量故，故， =𝐽1𝑀1(𝑀2𝑅𝑀1+ 𝑀2)2=𝐽2𝑀2(𝑀1𝑅𝑀1+ 𝑀2)2例例 2 2如图，支撑杆水平部分质量为如图，支撑杆水平部分质量为 M，长度为，长度为 l，垂直部分质量为，垂直部分质量为 M’，长度为，长度为 l’，圆盘，圆盘 半径为半径为 R，质量为，质量为 m，求（，求（1）圆盘部分可以绕其中心轴无摩擦的转动时的转动惯量。

圆盘部分可以绕其中心轴无摩擦的转动时的转动惯量 （（2）圆盘部分与中心轴固定时的转动惯量圆盘部分与中心轴固定时的转动惯量 解：解：（（1））支撑杆水平部分：自转惯量支撑杆水平部分：自转惯量 J’= M ，公转惯量，公转惯量 J’’= M ，，1 12𝑙21 4𝑙2J= MM = M1 12𝑙2+1 4𝑙21 3𝑙2支撑杆垂直部分：自转惯量为支撑杆垂直部分：自转惯量为 0，公转惯量为，公转惯量为 J’’=，，𝑀'𝑙2则则 J=𝑀'𝑙2 圆盘部分：自转惯量为圆盘部分：自转惯量为 0，公转惯量为，公转惯量为 J’’=m，，𝑅2故，转动惯量为：故，转动惯量为：J= M ++ m1 3𝑙2 𝑀'𝑙2𝑅2（（2））支撑杆水平部分：自转惯量支撑杆水平部分：自转惯量 J’= M ，公转惯量，公转惯量 J’’= M ，，1 12𝑙21 4𝑙2J= MM = M1 12𝑙2+1 4𝑙21 3𝑙2支撑杆垂直部分：自转惯量为支撑杆垂直部分：自转惯量为 0，公转惯量为，公转惯量为 J’’=，，𝑀'𝑙2则则 J=𝑀'𝑙2圆盘部分：自转惯量为圆盘部分：自转惯量为 J’= m，公转惯量为，公转惯量为 J’’=m，，1 2𝑅2𝑅2故，转动惯量为：故，转动惯量为：J= M ++ m1 3𝑙2 𝑀'𝑙23 2𝑅2参考文献参考文献 （（1））百度百科百度百科 《《地球自转地球自转》》 （（2））百度百科百度百科 《《地球公转地球公转》》 （（3））芶秉聪芶秉聪 胡海云胡海云 主编主编《《大学物理大学物理》》。